高等数学教案.docx

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高等数学教案

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第1次课

学科

高等数学

（一）

课题

函数

周次

5

时数

2

授课班级

1202114

主要教学内容：

1、集合与区间

2、函数概念

3、函数的几种特性

4、反函数

5、复合函数·初等函数

教学目的和要求：

1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2、理解函数的性质，掌握函数的四则运算。

3、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学重点：

1、函数的概念

2、函数的特性

3、复合函数

教学难点：

1、函数的概念

2、函数的特性

教学方法与手段：

课堂提问、讨论、启发、自学、讲练结合、黑板多媒体结合

使用实验仪器及教具：

传统教学用具与多媒体

教学内容及教学过程

教学过程

§1函数

一、集合与区间

1.集合概念

集合（简称集）:

集合是指具有某种特定性质的事物的总体.用A,B,C….等表示.

元素:

组成集合的事物称为集合的元素.a是集合M的元素表示为a∈M.

集合的表示:

列举法:

把集合的全体元素一一列举出来.

例如A={a,b,c,d,e,f,g}.

描述法:

若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为

A={a1,a2,⋅⋅⋅,an},

M={x|x具有性质P}.

例如M={（x,y）|x,y为实数,x2+y2=1}.

几个数集:

N表示所有自然数构成的集合,称为自然数集.

N={0,1,2,⋅⋅⋅,n,⋅⋅⋅}.N+={1,2,⋅⋅⋅,n,⋅⋅⋅}.

R表示所有实数构成的集合,称为实数集.

Z表示所有整数构成的集合,称为整数集.

Z={⋅⋅⋅,-n,⋅⋅⋅,-2,-1,0,1,2,⋅⋅⋅,n,⋅⋅⋅}.

Q表示所有有理数构成的集合,称为有理数集.

子集:

若x∈A,则必有x∈B,则称A是B的子集,记为A⊂B（读作A包含于B）或B⊃A.

如果集合A与集合B互为子集,A⊂B且B⊂A,则称集合A与集合B相等,记作A=B.

若A⊂B且A≠B,则称A是B的真子集,记作AB.例如,NZQR.

不含任何元素的集合称为空集,记作∅.规定空集是任何集合的子集.

2.集合的运算

设A、B是两个集合,由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集（简称并）,记作A⋃B,即

A⋃B={x|x∈A或x∈B}.

设A、B是两个集合,由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集（简称交）,记作A⋂B,即

A⋂B={x|x∈A且x∈B}.

设A、B是两个集合,由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集（简称差）,记作A\B,即

A\B={x|x∈A且x∉B}.

如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.此时,我们称集合I为全集或基本集.称I\A为A的余集或补集,记作AC.

集合运算的法则:

设A、B、C为任意三个集合,则

（1）交换律A⋃B=B⋃A,A⋂B=B⋂A;

（2）结合律（A⋃B）⋃C=A⋃（B⋃C）,（A⋂B）⋂C=A⋂（B⋂C）;

（3）分配律（A⋃B）⋂C=（A⋂C）⋃（B⋂C）,（A⋂B）⋃C=（A⋃C）⋂（B⋃C）;

（4）对偶律（A⋃B）C=AC⋂BC,（A⋂B）C=AC⋃BC.

（A⋃B）C=AC⋂BC的证明:

x∈（A⋃B）C⇔x∉A⋃B⇔x∉A且x∉B⇔x∈AC且x∈BC⇔x∈AC⋂BC,所以（A⋃B）C=AC⋂BC.

直积（笛卡儿乘积）:

设A、B是任意两个集合,在集合A中任意取一个元素x,在集合B中任意取一个元素y,组成一个有序对（x,y）,把这样的有序对作为新元素,它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积,记为A⨯B,即

A⨯B={（x,y）|x∈A且y∈B}.

例如,R⨯R={（x,y）|x∈R且y∈R}即为xOy面上全体点的集合,R⨯R常记作R2.

3.区间和邻域

有限区间:

设a

（a,b）={x|a

类似地有

[a,b]={x|a≤x≤b}称为闭区间,

[a,b）={x|a≤x

其中a和b称为区间（a,b）、[a,b]、[a,b）、（a,b]的端点,b-a称为区间的长度.

无限区间:

[a,+∞）={x|a≤x},（-∞,b]={x|x

区间在数轴上的表示:

邻域:

以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U（a）.

设δ是一正数,则称开区间（a-δ,a+δ）为点a的δ邻域,记作U（a,δ）,即

U（a,δ）={x|a-δ

={x||x-a|<δ}.

其中点a称为邻域的中心,δ称为邻域的半径.

去心邻域（a,δ）:

（a,δ）={x|0<|x-a|<δ}

二、函数概念

1.函数概念

定义设数集D⊂R,则称映射f:

D→R为定义在D上的函数,通常简记为

y=f（x）,x∈D,

其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作Df,即Df=D.

应注意的问题:

记号f和f（x）的含义是有区别的,前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则,而后者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便,习惯上常用记号“f（x）,x∈D”或“y=f（x）,x∈D”来表示定义在D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f.

函数符号:

函数y=f（x）中表示对应关系的记号f也可改用其它字母,例如“F”,“ϕ”等.此时函数就记作y=ϕ（x）,y=F（x）.

函数的两要素:

函数是从实数集到实数集的映射,其值域总在R内,因此构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.

函数的定义域:

函数的定义域通常按以下两种情形来确定:

一种是对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定.

求定义域举例:

求函数的定义域.

要使函数有意义,必须x≠0,且x2-4≥0.

解不等式得|x|≥2.

所以函数的定义域为D={x||x|≥2},或D=（-∞,2]⋃[2,+∞]）.

单值函数与多值函数:

在函数的定义中，对每个x∈D,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个x∈D,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.例如,设变量x和y之间的对应法则由方程x2+y2=r2给出.显然,对每个x∈[-r,r]，由方程x2+y2=r2,可确定出对应的y值,当x=r或x=-r时,对应y=0一个值;当x取（-r,r）内任一个值时,对应的y有两个值.所以这方程确定了一个多值函数.

对于多值函数,往往只要附加一些条件,就可以将它化为单值函数,这样得到的单值函数称为多值函数的单值分支.例如,在由方程x2+y2=r2给出的对应法则中,附加“y≥0”的条件,即以“x2+y2=r2且y≥0”作为对应法则,就可得到一个单值分支;附加“y≤0”的条件,即以“x2+y2=r2且y≤0”作为对应法则,就可得到另一个单值分支.

表示函数的主要方法有三种:

表格法、图形法、解析法（公式法）,这在中学里大家已经熟悉.其中,用图形法表示函数是基于函数图形的概念,即坐标平面上的点集

{P（x,y）|y=f（x）,x∈D}

称为函数y=f（x）,x∈D的图形.图中的Rf表示函数y=f（x）的值域.

函数的例子:

例.函数.

称为绝对值函数.其定义域为D=（-∞,+∞）,值域为Rf=[0,+∞）.

例.函数.

称为符号函数.其定义域为D=（-∞,+∞）,值域为Rf={-1,0,1}.

例设x为任上实数.不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作[x].

函数

y=[x]

称为取整函数.其定义域为D=（-∞,+∞）,值域为Rf=Z.

,[π]=3,[-1]=-1,[-3.5]=-4.

分段函数:

在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.

例。

函数.

这是一个分段函数,其定义域为D=[0,1]⋃（0,+∞）=[0,+∞）.

当0≤x≤1时,;当x>1时,y=1+x.

例如;;f（3）=1+3=4.

三、函数的几种特性

（1）函数的有界性

设函数f（x）的定义域为D,数集X⊂D.如果存在数K1,使对任一x∈X,有f（x）≤K1,则称函数f（x）在X上有上界,而称K1为函数f（x）在X上的一个上界.图形特点是y=f（x）的图形在直线y=K1的下方.

如果存在数K2,使对任一x∈X,有f（x）≥K2,则称函数f（x）在X上有下界,而称K2为函数f（x）在X上的一个下界.图形特点是,函数y=f（x）的图形在直线y=K2的上方.

如果存在正数M,使对任一x∈X,有|f（x）|≤M,则称函数f（x）在X上有界;如果这样的M不存在,则称函数f（x）在X上无界.图形特点是,函数y=f（x）的图形在直线y=-M和y=M的之间.

函数f（x）无界,就是说对任何M,总存在x1∈X,使|f（x）|>M.

例如

（1）f（x）=sinx在（-∞,+∞）上是有界的:

|sinx|≤1.

（2）函数在开区间（0,1）内是无上界的.或者说它在（0,1）内有下界,无上界.

这是因为,对于任一M>1,总有x1:

使

所以函数无上界.

函数在（1,2）内是有界的.

（2）函数的单调性

设函数y=f（x）的定义域为D,区间I⊂D.如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1

f（x1）

则称函数f（x）在区间I上是单调增加的.

如果对于区间I上任意两点x1及x2,当x1

f（x1）>f（x2）,

则称函数f（x）在区间I上是单调减少的.

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.

函数单调性举例:

函数y=x2在区间（-∞,0]上是单调增加的,在区间[0,+∞）上是单调减少的,在（-∞,+∞）上不是单调的.

（3）函数的奇偶性

设函数f（x）的定义域D关于原点对称（即若x∈D,则-x∈D）.如果对于任一x∈D,有

f（-x）=f（x）,

则称f（x）为偶函数.