圆锥曲线、导数2018年全国高考数学分类真题(含答案)文档格式.doc
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x D.y=±
x
6.已知双曲线C:
﹣y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=( )
A. B.3 C.2 D.4
7.设函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( )
A.y=﹣2x B.y=﹣x C.y=2x D.y=x
二.填空题(共6小题)
8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为 .
9.已知椭圆M:
+=1(a>b>0),双曲线N:
﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 ;
双曲线N的离心率为 .
10.已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m= 时,点B横坐标的绝对值最大.
11.已知点M(﹣1,1)和抛物线C:
y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点.若∠AMB=90°
,则k=
.
12.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为﹣2,则a= .
13.曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .
三.解答题(共13小题)
14.设函数f(x)=[ax2﹣(4a+1)x+4a+3]ex.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线与x轴平行,求a;
(Ⅱ)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.
15.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点(),焦点F1(﹣,0),F2(,0),圆O的直径为F1F2.
(1)求椭圆C及圆O的方程;
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;
②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为,求直线l的方程.
16.如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:
y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.
(Ⅰ)设AB中点为M,证明:
PM垂直于y轴;
(Ⅱ)若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.
17.设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|•|AB|=6.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线l:
y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.
18.已知斜率为k的直线l与椭圆C:
+=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).
(1)证明:
k<﹣;
(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且++=.证明:
||,||,||成等差数列,并求该数列的公差.
19.设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.
(1)求l的方程;
(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.
20.设椭圆C:
+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:
∠OMA=∠OMB.
21.记f′(x),g′(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f′(x0)=g′(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.
函数f(x)=x与g(x)=x2+2x﹣2不存在“S点”;
(2)若函数f(x)=ax2﹣1与g(x)=lnx存在“S点”,求实数a的值;
(3)已知函数f(x)=﹣x2+a,g(x)=.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.
22.已知函数f(x)=﹣lnx.
(Ⅰ)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:
f(x1)+f(x2)>8﹣8ln2;
(Ⅱ)若a≤3﹣4ln2,证明:
对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.
23.已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,其中a>1.
(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)﹣xlna的单调区间;
(Ⅱ)若曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证明x1+g(x2)=;
(Ⅲ)证明当a≥e时,存在直线l,使l是曲线y=f(x)的切线,也是曲线y=g(x)的切线.
24.已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)﹣2x.
(1)若a=0,证明:
当﹣1<x<0时,f(x)<0;
当x>0时,f(x)>0;
(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.
25.已知函数f(x)=ex﹣ax2.
(1)若a=1,证明:
当x≥0时,f(x)≥1;
(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.
26.已知函数f(x)=﹣x+alnx.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:
<a﹣2.
参考答案与试题解析
【解答】解:
∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x轴上,且a2=3,b2=1,
由此可得c==2,
∴该双曲线的焦点坐标为(±
2,0)
故选:
B.
由题意可得图象如图,CD是双曲线的一条渐近线
y=,即bx﹣ay=0,F(c,0),
AC⊥CD,BD⊥CD,FE⊥CD,ACDB是梯形,
F是AB的中点,EF==3,
EF==b,
所以b=3,双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为2,可得,
可得:
,解得a=.
则双曲线的方程为:
﹣=1.
C.
双曲线C:
﹣=1(a>0.b>0)的一条渐近线方程为y=x,
∴点F2到渐近线的距离d==b,即|PF2|=b,
∴|OP|===a,cos∠PF2O=,
∵|PF1|=|OP|,
∴|PF1|=a,
在三角形F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O,
∴6a2=b2+4c2﹣2×
b×
2c×
=4c2﹣3b2=4c2﹣3(c2﹣a2),
即3a2=c2,
即a=c,
∴e==,
由题意可知:
A(﹣a,0),F1(﹣c,0),F2(c,0),
直线AP的方程为:
y=(x+a),
由∠F1F2P=120°
,|PF2|=|F1F2|=2c,则P(2c,c),
代入直线AP:
c=(2c+a),整理得:
a=4c,
∴题意的离心率e==.
D.
∵双曲线的离心率为e==,
则=====,
即双曲线的渐近线方程为y=±
x=±
x,
A.
﹣y2=1的渐近线方程为:
y=,渐近线的夹角为:
60°
,不妨设过F(2,0)的直线为:
y=,
则:
解得M(,),
解得:
N(),
则|MN|==3.
函数f(x)=x3+(a﹣1)x2+ax,若f(x)为奇函数,
可得a=1,所以函数f(x)=x3+x,可得f′(x)=3x2+1,
曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线的斜率为:
1,
则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为:
y=x.
8.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为 2 .
双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线y=x的距离为c,
=b=,
可得,即c=2a,
所以双曲线的离心率为:
e=.
故答案为:
2.
﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 ;
双曲线N的离心率为 2 .
椭圆M:
﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,
可得椭圆的焦点坐标(c,0),正六边形的一个顶点(,),可得:
,可得,可得e4﹣8e2+4=0,e∈(0,1),
解得e=.
同时,双曲线的渐近线的斜率为,即,
,即,
可得双曲线的离心率为e==2.
;
10.已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m= 5 时,点B横坐标的绝对值最大.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由P(0,1),=2,
可得﹣x1=