含参数的一元二次不等式的解法与恒成立问题Word格式文档下载.doc

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解得方程两根

∴当时,解集为

当时，不等式为,解集为

当时,解集为

例2解不等式

分析因为，，所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解

当时，解集为；

当时，解集为

变式：

解关于的不等式

1、；

3、ax2－（a＋1）x＋1<

0（a∈R）

二、按判别式的符号分类，即；

例3解不等式

分析本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。

解：

∵

∴当即时，解集为；

当即Δ＝0时，解集为；

当或即,此时两根分别为，，显然,

∴不等式的解集为

例4解不等式

解因

所以当，即时，解集为；

当，即时，解集为；

当，即时，解集为R。

解关于的不等式：

三、按方程的根的大小来分类，即；

例5解不等式

此不等式可以分解为：

，故对应的方程必有两解。

本题

只需讨论两根的大小即可。

原不等式可化为：

，令，可得：

∴当或时，，故原不等式的解集为；

当或时，,可得其解集为；

当或时,,解集为。

例6解不等式，

分析此不等式，又不等式可分解为，故只需比较两根与的大小.

解原不等式可化为：

，对应方程的两根为

，当时，即，解集为；

当时，即，解集为

7、若关于x的不等式（2x－1）2＜ax2的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围。

（

【解析】　不等式可化为（4－a）x2－4x＋1＜0　①，由于原不等式的解集中的整数恰有3个，所以，解得0＜a＜4，故由①得，又，所以解集中的3个整数必为1,2,3，所以3＜≤4，解得＜a≤

一题多解专题一：

一元二次不等式恒成立问题

一元二次不等式恒成立问题的两种解法

（1）分离参数法.把所求参数与自变量分离,转化为求具体函数的最值问题.

（2）不等式组法.借助二次函数的图象性质,列不等式组求解.

例1.设函数，对于满足1<

x<

4的一切x值，都有f（x）>

0，求实数a的取值范围.

【解析】法一：

当a>

0时，，由x∈（1,4），f（x）>

0得

或或

所以或或，所以或，即。

当a<

0时，，解得a∈;

当a=0时，,f

（1）=0,f（4）=-6,∴不合题意.

综上可得，实数a的取值范围是。

.

法二：

由f（x）>

0,即,x∈（1,4），

则有在（1，4）上恒成立.

令，，

所以要使f（x）>

0在（1,4）上恒成立，只要即可.故a的取值范围为.

2.已知函数在区间（－∞，－2]上单调递增，在区间[－2,2]上单调递减，且b≥0.

（1）求f（x）的表达式；

（2）设0<

m≤2，若对任意的x1、x2∈[m－2，m]不等式|f（x1）－f（x2）|≤16m恒成立，求实数m的最小值．

解析　

（1）由题意知x＝－2是该函数的一个极值点.

∵f′（x）＝3x2＋2bx＋c，∴f′（－2）＝0，即12－4b＋c＝0.

又f（x）在[－2,2]上单调递减，∴f′（x）＝3x2＋2bx＋c在[－2,2]上恒有f′（x）≤0.

∴f′

（2）≤0，即12＋4b＋c≤0.∴12＋4b＋4b－12≤0.

∴b≤0，又b≥0，∴b＝0，c＝－12，f（x）＝x3－12x＋1.

（2）∵f′（x）＝3x2－12＝3（x－2）（x＋2）．

0<

m≤2，而当m－2≤x≤m时，0<

m≤x＋2<

m＋2，m－4≤x－2≤m－2≤0，

∴f′（x）≤0，x∈[m－2，m].因此f（x）为[m－2，m]上的减函数，

∴对任意x1，x2∈[m－2，m]都有|f（x1）－f（x2）|≤f（x）max－f（x）min＝f（m－2）－f（m）

＝－6m2＋12m＋16≤16m，∴m≥，即mmin＝.

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