合情推理与演绎推理Word文档格式.doc

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陕西高考）观察下列等式：

（1＋1）＝2×

1，

（2＋1）（2＋2）＝22×

1×

3，

（3＋1）（3＋2）（3＋3）＝23×

3×

5，

……

照此规律，第n个等式可为________．

从给出的规律可看出，左边的连乘式中，连乘式个数以及每个连乘式中的第一个加数与右边连乘式中第一个乘数的指数保持一致，其中左边连乘式中第二个加数从1开始，逐项加1递增，右边连乘式中从第二个乘数开始，组成以1为首项，2为公差的等差数列，项数与第几等式保持一致，则照此规律，第n个等式可为（n＋1）（n＋2）…（n＋n）＝2n×

…×

（2n－1）．

【答案】　（n＋1）（n＋2）…（n＋n）＝2n×

（2n－1）

3．（2013·

湖北高考）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数　N（n,3）＝n2＋n，

正方形数　N（n,4）＝n2，

五边形数　N（n,5）＝n2－n，

六边形数　N（n,6）＝2n2－n，

可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10,24）＝________.

由N（n,4）＝n2，N（n,6）＝2n2－n，…，可以推测：

当k为偶数时，N（n，k）＝n2－n，于是N（n，24）＝11n2－10n.故N（10,24）＝11×

102－10×

10＝1000.

【答案】　1000

[命题规律预测]

命题规律

从近几年的高考试题看，对本节内容的考查主要体现在以下两个方面：

1.对归纳推理的考查是命题的热点，对类比推理的考查相对较弱．

2.题型主要以填空题的形式出现，难度中高档．

考向预测

预测2016年高考仍将以考查归纳推理和类比推理为主，估计试题难度稍大，对学生的数学能力的考查是重点考查方向.

考向一归纳推理

【例1】　（2014·

陕西高考）已知f（x）＝，x≥0，若f1（x）＝f（x），fn＋1（x）＝f（fn（x）），n∈N＋，则f2014（x）的表达式为________．

由fn＋1（x）＝f（fn（x））分别求出f2（x），f3（x），然后观察f1（x），f2（x），f3（x）中等式的分子与分母系数间的关系，猜想f2014（x）的表达式．

f1（x）＝，f2（x）＝＝，f3（x）＝＝，…，由数学归纳法得f2014（x）＝.

【答案】　f2014（x）＝

常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：

（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．

（2）形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．

[对点练习]

　如图11­

2­

1所示，一个质点在第一象限和坐标轴上运动，在第一秒钟内它由原点运动到点（0,1），然后按图中所示在与x轴、y轴平行的方向上运动，且每秒移动一个单位长度，那么2000秒后，这个质点所处位置的坐标是（　　）

图11­

1

A．（44,25）　　　　　　　B．（45,25）

C．（25,45） D．（24,44）

【解析】　质点到达点（1,1）处，走过的单位长度是2，接下来质点运动的方向与y轴方向相反；

质点到达点（2,2）处，走过的单位长度是6＝2＋4，接下来质点运动的方向与x轴方向相反；

质点到达点（3,3）处，走过的单位长度是12＝2＋4＋6，接下来质点运动的方向与y轴方向相反；

质点到达点（4,4）处，走过的单位长度是20＝2＋4＋6＋8，接下来质点运动的方向与x轴方向相反；

猜想：

质点到达点（n，n）处，走过的单位长度是2＋4＋6＋…＋2n＝n（n＋1），且n为偶数时，接下来质点运动的方向与x轴方向相反；

n为奇数时，接下来质点运动的方向与y轴方向相反．所以2000秒后是指该质点到达点（44,44）后，继续移动了20个单位，由图中规律可得该质点沿与x轴相反的方向前进了20个单位，即该质点所处位置的坐标是（24,44）．

【答案】　D

考向二类比推理

【例2】　

（1）（2014·

郑州模拟）已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b（n－m≥1，m，n∈N*），则am＋n＝.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}（bn＞0，n∈N*），若bm＝c，bn＝d（n－m≥2，m，n∈N*），则可以得到bm＋n＝________.

（2）（2014·

南昌模拟）在平面上，若两个正三角形的边长为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．

（1）类比等差和等比数列的性质求解；

（2）类比平面图形与空间图形的内在联系求解．

法一：

设数列{an}的公差为d1，则d1＝＝.

所以am＋n＝am＋nd1＝a＋n·

＝.

类比推导方法可知：

设数列{bn}的公比为q，由bn＝bmqn－m可知d＝cqn－m，所以q＝，所以bm＋n＝bmqn＝c·

法二：

设数列{an}的公差为d1，数列{bn}的公比为q，

在等差数列中，an＝a1＋（n－1）d1，在等比数列中，bn＝b1qn－1，

因为am＋n＝，所以bm＋n＝.

（2）∵两个正三角形是相似三角形，∴它们的面积比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积比为相似比的立方，∴它们的体积比为1∶8.

【答案】　

（1）　

（2）1∶8

类比推理的分类及处理方法

类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法：

（1）类比定义：

在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；

（2）类比性质：

从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；

（3）类比方法：

有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移．

　在平面上，设ha、hb、hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：

＋＋＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为________．

设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A—BCD四个面上的高，P为三棱锥A—BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd.

于是我们可以得到结论：

＋＋＋＝1.

【答案】　＋＋＋＝1

考向三演绎推理

【例3】　数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn（n∈N*），证明：

（1）数列是等比数列；

（2）Sn＋1＝4an.

按照“三段论”的模式给予求解．

证明：

（1）∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，

∴（n＋2）Sn＝n（Sn＋1－Sn），即nSn＋1＝2（n＋1）Sn.

故＝2·

（小前提）

故是以2为公比，1为首项的等比数列．（结论）

（大前提是等比数列的定义，这里省略了）．

（2）由

（1）可知＝4·

（n≥2），

∴Sn＋1＝4（n＋1）·

＝4·

·

Sn－1＝4an（n≥2）．（小前提）

又∵a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，（小前提）

∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.（结论）

演绎推理的结构特点：

（1）演绎推理是由一般到特殊的推理，其最常见的形式是三段论，它是由大前提、小前提、结论三部分组成的．三段论推理中包含三个判断：

第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；

第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况．这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断：

结论．

（2）演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．

如图11­

2所示，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，∠BFD＝∠A，且DE∥BA.求证：

ED＝AF（要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来）．

2

（1）同位角相等，两条直线平行，（大前提）

∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，（小前提）

所以DF∥EA.（结论）

（2）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（大前提）

DE∥BA且DF∥EA，（小前提）

所以四边形AFDE为平行四边形．（结论）

（3）平行四边形的对边相等，（大前提）

ED和AF为平行四边形的对边，（小前提）

所以ED＝AF.（结论）

上面的证明可简略地写成：

⇒四边形AFDE是平行四边形⇒ED＝AF.

【例】　（2014·

临沂模拟）如图11­

3所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：

1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{an}（n∈N＋）的前12项（即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项），按如此规律下去，则a2013＋a2014＋a2015等于（　　）

3

A．1005　　　B．1006　　　C．1007　　　D．2015

观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半，奇数项的值有正负之分．

则a4n－3＝n，a4n－1＝－n，a2n＝n.

此处在求解时常因找不出a4n－3与a4n－1的关系，导致结论错误．

又2013＝4×

504－3,2015＝4×

504－1，

∴a2013＝504，a2015＝－504，a2014＝1007，

∴a2013＋a2014＋a2015＝1007.

【答案】　C

（1）正确书写数列{an}的前n项，为归纳探索项与项间的关系作出铺垫．

（2）仔细观察数列{an}中各项的特征，明确“a2n＝n，a4n－3＋a4n－1＝0”是解题的关键所在．

　（2014·

荆州模拟）如图11­

4是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型：

数字1出现在第1行；

数字2,3出现在第2行；

数字6,5,4（从左至右）出现在第3行；

数字7,8,9,10出现在第4行，依次类推，则

（1）按网络运作顺序第n行第1个数字（如第2行第1个数字为2，第3行第1个数字为4，…）是________；

（2）第63行从左至右的第3个数字应是________．

4

设第n行的第1个数字构成数列{an}，则an＋1－an＝n，且a1＝1，∴an＝，而偶数行的顺序从左到右，奇数行的顺序从右到左，第63行的第1个数字为1954，从左至右的第3个数字是从右至左的第61个数字，从而所求数字为1954＋60＝2014.

【答案】　　2014

1．下面几种推理过程是演绎推理的是（　　）

A．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由