南京市2017届高三年级学情调研Word文档格式.doc
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40
50
60
70
80
时速/km
2．设复数z满足（z＋i）i＝－3＋4i（i为虚数单位），则z的模为▲．2
k←1
开始
输出k
结束
S＞80
S←1
Y
N
S←2S＋k
k←k＋1
（第5题）
3．为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60）内的汽车有▲辆．80
4．若函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π，则f（）的值是▲．
5．右图是一个算法的流程图，则输出k的值是▲．5
6．设向量a＝（1，－4），b＝（－1，x），c＝a＋3b．若a∥c，则实数x的值是▲．4
7．某单位要在4名员工（含甲、乙两人）中随机选2名到某、地出差，则甲、乙两人中，至少有一人被选中的概率是▲．
8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线C：
－＝1（a＞0）的一条渐近线与直线y＝2x＋1平行，则实数a的值是▲．1
9．在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆（x－1）2＋（y－a）2＝16相交于A，B两点，且ΔABC为直角三角形，则实数a的值是▲．－1
10．已知圆柱M的底面半径为2，高为6；
圆锥N的底面直径和母线长相等．若圆柱M和圆锥N的体积相同，则圆锥N的高为▲．6
11．各项均为正数的等比数列{an}，其前n项和为Sn．若a2－a5＝－78，S3＝13，则数列{an}的通项公式an＝▲．3
12．已知函数f（x）＝当x∈（－∞，m]时，f（x）的取值范围为[－16，＋∞），则实数m的取值范围是▲．[－2，8]
13.在ΔABC中，已知AB＝3，BC＝2，D在AB上，＝．若·
＝3，则AC的长是▲．
14．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）＋g（x）＝（）x．若存在x0∈[，1]，使得等式af（x0）＋g（2x0）＝0成立，则实数a的取值范围是▲．[2，]
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
x
O
y
A
B
（第15题）
15．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B．若点A的横坐标是，点B的纵坐标是．
（1）求cos（α－β）的值；
（2）求α＋β的值．
解：
因为锐角α的终边与单位圆交于A，且点A的横坐标是，
所以，由任意角的三角函数的定义可知，cosα＝，
从而sinα＝＝．……………………2分
因为钝角β的终边与单位圆交于点B，且点B的纵坐标是，
所以sinβ＝，从而cosβ＝－＝－．……………………4分
（1）cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×
（－）＋×
＝－．………8分
（2）sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×
＝．…………11分
因为α为锐角，β为钝角，故α＋β∈（，），
所以α＋β＝．……………………14分
C
D
M
A1
B1
C1
（第16题）
16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点．
（1）求证：
MN∥平面BB1C1C；
（2）若D在边BC上，AD⊥DC1，求证：
MN⊥AD．
证明：
（1）如图，连结A1C．
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形．
又因为N为线段AC1的中点，
所以A1C与AC1相交于点N，
即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点．…………2分
因为M为线段A1B的中点，
所以MN∥BC．………………4分
又MN平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，
所以MN∥平面BB1C1C．……………………6分
（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．
又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD．……………………8分
因为AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，
所以AD⊥平面BB1C1C．……………………10分
又BC⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC．……………………12分
又由
（1）知，MN∥BC，所以MN⊥AD．……………………14分
（第17题）
17．（本小题满分14分）如图，某城市有一块半径为40m的半圆形绿化区域（以O为圆心，AB为直径），现计划对其进行改建．在AB的延长线上取点D，OD＝80m，在半圆上选定一点C，改建后的绿化区域由扇形区域AOC和三角形区域COD组成，其面积为Sm2．设∠AOC＝xrad．
（1）写出S关于x的函数关系式S（x），并指出x的取值范围；
（2）试问∠AOC多大时，改建后的绿化区域面积S取得最大值．
（1）因为扇形AOC的半径为40m，∠AOC＝xrad，
所以扇形AOC的面积S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π．……………………2分
在ΔCOD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，
所以ΔCOD的面积S△COD＝·
OC·
OD·
sin∠COD＝1600sin（π－x）＝1600sinx．……4分
从而S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．……………………6分
（2）由
（1）知，S（x）＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．
S′（x）＝1600cosx＋800＝1600（cosx＋）．……………………8分
由S′（x）＝0，解得x＝．
从而当0＜x＜时，S′（x）＞0；
当＜x＜π时，S′（x）＜0．
因此S（x）在区间（0，）上单调递增；
在区间（，π）上单调递减．………………11分
所以当x＝，S（x）取得最大值．
答：
当∠AOC为时，改建后的绿化区域面积S最大．……………………14分
（第18题）
P
F1
F2
Q
18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，设＝λ．
（1）若点P的坐标为（1，），且ΔPQF2的周长为8，求椭圆C的方程；
（2）若PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心率e∈[，]，求实数λ的取值范围．
（1）因为F1，F2为椭圆C的两焦点，且P，Q为椭圆上的点，
所以PF1＋PF2＝QF1＋QF2＝2a，从而ΔPQF2的周长为4a．
由题意，得4a＝8，解得a＝2．……………………2分
因为点P的坐标为（1，），所以＋＝1，
解得b2＝3．
所以椭圆C的方程为＋＝1．……………………5分
（2）方法一：
因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P（c，y0），y0＞0．设Q（x1，y1）．
因为P在椭圆上，所以＋＝1，解得y0＝，即P（c，）．……………………7分
因为F1（－c，0），所以＝（－2c，－），＝（x1＋c，y1）．
由＝λ，得－2c＝λ（x1＋c），－＝λy1，
解得x1＝－c，y1＝－，所以Q（－c，－）．……………………11分
因为点Q在椭圆上，所以（）2e2＋＝1，
即（λ＋2）2e2＋（1－e2）＝λ2，（λ2＋4λ＋3）e2＝λ2－1，
因为λ＋1≠0，
所以（λ＋3）e2＝λ－1，从而λ＝＝－3．……………………14分
因为e∈[，]，所以≤e2≤，即≤λ≤5．
所以λ的取值范围为[，5]．……………………16分
方法二：
因为PF2⊥x轴，且P在x轴上方，故设P（c，y0），y0＞0．
因为F1（－c，0），故直线PF1的方程为y＝（x＋c）．
由得（4c2＋b2）x2＋2b2cx＋c2（b2－4a2）＝0．
因为直线PF1与椭圆有一个交点为P（c，）．设Q（x1，y1），
则x1＋c＝－，即－c－x1＝．……………………11分
因为＝λ，
所以λ＝＝＝＝＝＝－3．……………………14分
所以λ的取值范围为[，5]．……………………16分
19．（本小题满分16分）已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2·
a3＝15，S4＝16．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足b1＝a1，bn＋1－bn＝．
①求数列{bn}的通项公式；
②是否存在正整数m，n（m≠n），使得b2，bm，bn成等差数列？
若存在，求出m，n的值；
若不存在，请说明理由．
（1）设数列{an}的公差为d，则d＞0．
由a2·
a3＝15，S4＝16，得
解得或（舍去）
所以an＝2n－1．……………………4分
（2）①因为b1＝a1，bn＋1－bn＝，
所以b1＝a1＝1，
bn+1－bn＝＝＝（－），……………………6分
即b2－b1＝（1－），
b3－b2＝（－），
……
bn－bn－1＝（－），（n≥2）
累加得：
bn－b1＝（1－）＝，……………………9分
所以bn＝b1＋＝1＋＝．
b1＝1也符合上式．
故bn＝，n∈N*．……………………11分
②假设存在正整数m、n（m≠n），使得b2，bm，bn成等差数列，
则b2＋bn＝2bm．
又b2＝，bn＝＝
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