北京市10区2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编:立体几何Word格式.doc

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北京市10区2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编:立体几何Word格式.doc

表面积是

A.B.

C.D.

【答案】D

5.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】如图,某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形,则该三棱锥的四个面的面积中最大的是

(A)(B)(C)1(D)2

【答案】A

【解析】由三视图可知,该几何体是一个三棱锥,三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形,,所以四个面中面积最大的为,且是边长为为2的正三角形,所以,选A.

6.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示,则棱的长为_________.

【解析】取AC的中点,连结BE,DE由主视图可知.且.所以,即。

7.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】设是不同的直线,是不同的平面,下列命题中正确的是()

A.若,则B.若,则

C.若,则⊥D.若,则

【答案】C

【解析】C中,当,所以,或当,所以⊥,所以正确。

8.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是

(A)(B)(C)(D)

【解析】由三视图可知,该几何体是一个平放的直三棱柱,棱柱的底面为等腰直角三角形,棱柱的高为2,所以该几何体的底面积为,侧面积为,所以表面积为,选B.

9.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】某四面体的三视图如图所示.该四面体的六条棱的长度中,最大的是()

(A)(B)(C)(D)

【解析】由三视图可知该四面体为,其中,,,.所以六条棱中,最大的为或者.,所以,此时。

所以,所以棱长最大的为,选C.

10.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在棱长为1的正方体中,点,分别是线段,(不包括端点)上的动点,且线段平行于平面,则四面体的体积的最大值是

A.B.C.D.

【解析】过做底面于O,连结, 则,即为三棱锥的高,设,则由题意知,所以有,即。

三角形,所以四面体的体积为,当且仅当,即时,取等号,所以四面体的体积的最大值为,选A.

11、【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积是()

A.B.C.D.正(主)视图

侧(左)视图

俯视图

2

3

1

【解析】由三视图可知该几何体为三棱锥,三棱锥的高为2,底面三角形的高为3,底面边长为3,所以底面积为,所以该几何体的体积为,选B.

二、解答题

1.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】在四棱锥中,底面是正方形,为的中点.(Ⅰ)求证:

∥平面;

(Ⅱ)求证:

(Ⅲ)若在线段上是否存在点,使?

若存在,求出的值,若不存在,请说明理由.

【答案】解:

(I)连接.

由是正方形可知,点为中点.

又为的中点,

所以∥………………….2分

所以∥平面………….4分

(II)证明:

所以

由是正方形可知,

所以………………………………..8分

所以…………………………………………..9分

(III)解法一:

在线段上存在点,使.理由如下:

如图,取中点,连接.

在四棱锥中,,

所以.…………………………………………………………………..11分

由(II)可知,而

所以,

因为

所以………………………………………………………….13分

故在线段上存在点,使.

由为中点,得……………………………………………14分

解法二:

由且底面是正方形,如图,

建立空间直角坐标系

由已知设,

设为线段上一点,且,则

…………………………..12分

由题意,若线段上存在点,使,则,.

所以,,

故在线段上存在点,使,且……………………14分

2.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】在长方体中,,点在棱上,且.

(Ⅰ)求证:

平面;

(Ⅱ)在棱上是否存在点,使∥平面?

若存在,求出线段的长;

若不存在,请说明理由;

(Ⅲ)若二面角的余弦值为,求棱的长.

【答案】证明:

(Ⅰ)在长方体中,

因为面,

所以.……………………2分

在矩形中,因为,

所以.

所以面.…………………………4分

(Ⅱ)如图,在长方体中,以为原点建立空间直角坐标系.

依题意可知,,,

设的长为,则,

假设在棱上存在点,使得∥平面.

设点,则,

易知.

设平面的一个法向量为,

则,即.………………………………………………7分

令得,,所以.

因为∥平面,等价于且平面.

得,所以.

所以,,所以的长为.………………………………9分

(Ⅲ)因为∥,且点,

所以平面、平面与面是同一个平面.

由(Ⅰ)可知,面,

所以是平面的一个法向量.………………………………11分

由(Ⅱ)可知,平面的一个法向量为.

因为二面角的余弦值为,

所以,解得.

故的长为.…………………………………………………………14分

3.【北京市东城区2013届高三上学期期末理】如图,在菱形中,,是的中点,⊥平面,且在矩形中,,A

B

C

D

E

N

M

⊥;

//平面;

(Ⅲ)求二面角的大小.

(Ⅰ)连结,则.

由已知平面,

F

A

y

x

z

因为,

所以平面.……………………2分

又因为平面,

所以.……………………4分

(Ⅱ)与交于,连结.

由已知可得四边形是平行四边形,

所以是的中点.

因为是的中点,

所以.…………………………7分

又平面,

平面,

所以平面.……………………………………………………………9分

(Ⅲ)由于四边形是菱形,是的中点,可得.

如图建立空间直角坐标系,则,,,

.

,.…………………………………………10分

设平面的法向量为.

所以

令.所以.……………………………………12分

又平面的法向量,

所以.

所以二面角的大小是60°

.………………………………………14分

4.【北京市房山区2013届高三上学期期末理】

在长方体中,,,为中点.

(Ⅰ)证明:

(Ⅱ)求与平面所成角的正弦值;

(Ⅲ)在棱上是否存在一点,使得∥平面?

若存在,求的长;

若不存在,说明理由.

连接

∵是长方体,

∴平面,

又平面

∴………………1分

在长方形中,

∴………………2分

∴平面,………………3分而平面

∴………………4分

(Ⅱ)如图建立空间直角坐标系,则

设平面的法向量为,则

令,则………………7分

………………9分

所以与平面所成角的正弦值为………………10分

(Ⅲ)假设在棱上存在一点,使得∥平面.

设的坐标为,则因为∥平面

所以,即,,解得,………………13分

所以在棱上存在一点,使得∥平面,此时的长.……14分

5.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=AB=2,,°

平面PAB平面ABC,D、E分别为AB、AC中点.

DE‖平面PBC;

ABPE;

(Ⅲ)求二面角A-PB-E的大小.

(Ⅰ)D、E分别为AB、AC中点,

_

P

\DE//BC.

DEË

平面PBC,BCÌ

平面PBC,

\DE//平面PBC.…………………………4分

(Ⅱ)连结PD,

PA=PB,

PDAB.…………………………….5分

,BCAB,

DEAB..................................................................6分

又,

AB平面PDE.................................................8分

PEÌ

平面PDE,

ABPE.......................................................9分

(Ⅲ)平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,

PD平面ABC.............................................10分

如图,以D为原点建立空间直角坐标系

B(1,0,0),P(0,0,),E(0,,0),

=(1,0,),=(0,,).

设平面PBE的法向量,

得.........11分

DE平面PAB,

平面PAB的法向量为.…………...................12分

设二面角的大小为,

由图知,,

所以即二面角的大小为..........

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