函数的奇偶性(教案)Word格式文档下载.doc
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是偶函数；
奇函数；
④、等价性：
⑤、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；
⑥、可分性：
根据函数奇偶性可将函数分类为四类：
奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
4、函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种方法：
利用奇、偶函数的定义，主要考查是否与、相等，判断步骤如下：
①、定义域是否关于原点对称；
②、数量关系哪个成立；
偶函数
判断与的关系
定义域不关于
定义域关于
奇函数
原点对称
函数定义域
举反例
定义域不关于原点对称
非奇非偶函数定义域
第二种方法：
利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：
两个奇函数的代数和是奇函数；
两个偶函数的和是偶函数；
奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；
两个奇函数的积为偶函数；
两个偶函数的积为偶函数；
奇函数与偶函数的积是奇函数。
5、关于函数按奇偶性的分类
全体实函数可按奇偶性分为四类：
①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。
二．典型例题
考点1：
奇偶性的判定
例1：
判断下列各函数是否具有奇偶性
⑴、⑵、
⑶、⑷、
⑸、⑹、
解：
⑴为奇函数⑵为偶函数⑶为非奇非偶函数
⑷为非奇非偶函数⑸为非奇非偶函数⑹既是奇函数也是偶函数
注：
教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。
例2：
判断函数的奇偶性。
练习：
判断函数的单调性。
考点2：
关于函数奇偶性的简单应用
题型1.利用定义解题
例3.已知函数，若为奇函数，则________。
题型2、利用奇偶性求函数值
例4：
已知且，那么-26.
已知且，那么27
题型3、利用奇偶性比较大小
例5：
已知偶函数在上为减函数，比较，，的大小。
在上为减函数且为偶函数
在上为增函数。
练习:
已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，且在（－∞，0]上是增函数，设a＝f（3），b＝f（—2），c＝f
（1），则a，b，c的大小关系是（ D ）
A.c<
b<
aB.b<
c<
aC.c>
a>
bD.a<
c
题型4.利用奇偶性求解析式
例6：
已知为偶函数，求的解析式？
1.是定义在上的偶函数，且时，，则当
时，=.
2.已知函数f（x）是定义在（－∞,+∞）上的偶函数.
当x∈（－∞,0）时，f（x）=x-x4，则当∈（0.+∞）时，f（x）=.
题型5、利用奇偶性讨论函数的单调性
例7：
若是偶函数，讨论函数的单调区间？
在上定义的函数是偶函数，且，若在区间是减函数，则函数（）
A.在区间上是增函数，区间上是增函数
B.在区间上是增函数，区间上是减函数
C.在区间上是减函数，区间上是增函数
D.在区间上是减函数，区间上是减函数
题型6、利用奇偶性求参数的值
例8：
定义在R上的偶函数在是单调递减，若，则的取值范围是如何？
练习、已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。
题型7、利用图像解题
例9.设奇函数f（x）的定义域为[-5,5].若当x∈[0,5]时,f（x）的图象如右图,则不等式的解是
若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f
（2）=0，则使得f（x）<
0的x的取值范围是（）
A.（-¥
2）B.（2,+¥
）C.（-¥
-2）È
（2,+¥
）D.（-2,2）
三．课后习题
1．下列说法中不正确的是（）
A．图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数
B．奇函数的图象一定经过原点
C．偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴的交点的个数一定为偶数
D．图象关于y轴成轴对称的函数一定是偶函数
2．函数:
其中是非奇非偶函数的是（）
A.
（1）
（2）（3）B.
（1）（3）（4）C.
（1）（3）D.
（1）
3．若是偶函数,则是（）
A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数
4.如果奇函数在区间[3,7]上是增函数且最小值是5,则在[-7,-3]上（）
A.是增函数,最小值是-5B.是增函数,最大值是-5
B.是减函数,最小值是-5C.是减函数,最大值是-5
5.若y=f（x）（x∈R）是奇函数，则下列各点中，一定在曲线y=f（x）上的是（）
A．（a，f（－a）） B．（－sina，－f（－sina））
C．（－lga，－f（lg）） D．（－a，－f（a））
6.已知是R上的奇函数，则a=
7.若f（x）为奇函数，且在（-∞,0）上是减函数，又f（-2）=0，则xf（x）<
0的解集为________
8.已知y=f（x）是偶函数，且在上是减函数，则f（1－x2）是增函数的区间是
9.判断下列函数的奇偶性：
（1）
（2）（3）
10.设是上的奇函数，且当时，，求当时的解析式。
11.已知函数是定义在R上的奇函数,当时，
求在R上的解析式.
12.是定义在上的奇函数,且是单调递减函数,若
求实数的取值范围。
13.已知函数是奇函数,且上是增函数,
（1）求a,b,c的值;
（2）当x∈[-1,0）时,讨论函数的单调性.
解
（1）是奇函数，则
由,
由
又.
当
当a=1时,b=1,
14.定义在R上的单调函数f（x）满足f（3）=log3且对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求证f（x）为奇函数；
（2）若f（k·
3）+f（3-9-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
分析：
欲证f（x）为奇函数即要证对任意x都有f（-x）=-f（x）成立．在式子f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=－x可得f（0）=f（x）+f（-x）于是又提出新的问题，求f（0）的值．令x=y=0可得f（0）=f（0）+f（0）即f（0）=0，f（x）是奇函数得到证明．
（1）证明：
f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），①
令x=y=0，代入①式，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0．
令y=－x，代入①式，得f（x-x）=f（x）+f（-x），又f（0）=0，则有
0=f（x）+f（-x）．即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．
（2）解：
f（3）=log3＞0，即f（3）＞f（0），又f（x）在R上是单调函数，所以f（x）在R上是增函数，又由
（1）f（x）是奇函数．
f（k·
3）＜-f（3-9-2）
=f（-3+9+2），
k·
3＜-3+9+2，
3-（1+k）·
3+2＞0对任意x∈R都成立．令t=3＞0，问题等价于t-（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．
令f（t）=t2－（1+k）t+2,其对称轴
当时,f（0）=2>
0,符合题意;
当时,对任意t>
0,f（t）>
0恒成立
综上所述,所求k的取值范围是
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