函数的对称性Word下载.doc
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③二次函数;
④反比例函数;
⑤指数函数;
⑥对数函数;
⑦幂函数;
⑧正弦函数;
⑨正弦型函数既是轴对称又是中心对称;
⑩余弦函数;
⑾正切函数;
⑿耐克函数;
⒁绝对值函数：
这里主要说的是和两类。
前者显然是偶函数，它会关于轴对称;
后者是把轴下方的图像对称到轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如就没有对称性，而却仍然是轴对称。
⒂形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线
（由分母为零确定）和直线（由分子、分母中的系数确定），对称中心是点。
二、抽象函数的对称性
【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；
另一种是两个函数之间的对称性，我们称其为互对称。
】
1、函数图象本身的对称性（自对称问题）
（1）轴对称
①的图象关于直线对称
②的图象关于直线对称.
特别地，函数的图像关于轴对称的充要条件是.
（2）中心对称
①的图象关于点对称
。
②的图象关于点对称.
特别地，函数的图像关于原点对称的充要条件是.
（3）对称性与周期性之间的联系
①若函数既关于直线对称，又关于直线对称，则函数关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为；
且函数为周期函数，周期；
特别地：
若是偶函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数；
②若函数既关于点对称，又关于点对称，则函数关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为；
③若函数既关于直线对称，又关于点对称，则函数关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为，相邻对称轴或中心的距离为；
且函数为周期函数，周期。
若是奇函数，其图像又关于直线对称，则是周期为的周期函数。
典例精讲
关于直线对称
例1.（★★）已知二次函数满足条件且方程有等根，则＝．
例2.（★★）已知函数对一切实数x满足条件，已知时，，
求时的解析式.
巩固练习（自对称）
1.（★★）已知函数定义域为，且对于任意实数满足，当时，，则.
2.（★★）设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，
且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是（）
3.（★★）设函数是定义在上的偶函数，它的图象关于直线对称，已知时，，求时，的解析式.
例3.（★★）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则
A．B．
C．D．
例4.（★★）已知函数，函数与的图像关于轴对称，求函数在区间上的最值.
巩固练习
1.（★★）若函数图像与函数的图像关于直线对称，则＿；
2.在同一直角坐标系中，函数的图像与的图像关于直线对称，而函数的图像与的图像关于轴对称，若，则的值是（）
．；
．；
．；
．．
3.若函数的图像与对数函数的图像关于直线对称，则的解析式为
4.（★★）函数的反函数的图象大致是
（A）（B）（C）（D）
关于点对称
例5.（★★）已知函数满足：
，则函数的图象（）
A．关于点对称B．关于点对称
C．关于点对称D．关于点对称
例6.（★★）设，函数的图像与函数的图像关于点对称．求函数的解析式．
练习
1.（★★★）是定义在上的以3为周期的奇函数，且，则方程在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）
A．7 B．3 C．4 D．5
2.（★★）已知函数f（x）＝的反函数的图象的对称中心是
（1，），则函数g（x）＝的单调递增区间是；
函数对称性与周期性的联系
例7.（★★）若函数在上是奇函数，且在上是增函数，且.
①求的周期；
②证明的图象关于点中心对称;
关于直线轴对称,;
③讨论在上的单调性；
1.（★★）设是定义在R上的奇函数,的图象关于直线，则.
2.（★★）已知定义在上的奇函数满足，则的值为（）
（A）－1（B）0（C）1（D）2
3.（★★）设是定义在R上的偶函数，且，当时，，则___________
1.函数与函数的图象关于关于__________对称。
2.设函数的定义域为R，且满足，则的图象关于__________对称。
3.设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于__________对称，关于__________对称。
4.已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为（）A、5B、10C、15D、18
5.函数定义域为R，且恒满足和，当
时，，求解析式。
总结
现在，总结一下本节课的收获吧？
函数图像的对称性
1、
（1）一个图关于点对称：
（Ⅰ）奇函数关于原点对称
（Ⅱ）的图象关于点对称
（2）一个图关于直线对称：
（Ⅰ）偶函数关于轴对称
（Ⅱ）关于直线对称
（3）两个图关于点对称
（Ⅰ）关于原点对称的函数：
，
即
（Ⅱ）关于对称的函数：
即
（4）两个图关于直线对称：
函数与图象关于直线对称即直线对称。
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