任意角的三角函数教案Word格式文档下载.doc
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【教学过程】
y
P(a,b)
r
OM
一、【创设情境】
提问:
锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示?
借助右图直角三角形,复习回顾.
引入:
锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数。
数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?
如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那
a的终边
P(x,y)
O
x
么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则;
;
.
思考:
对于确定的角,这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢?
显然,我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上,这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:
;
.
上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后,我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改,以利推广到任意角呢?
本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.
二、【探究新知】
1.探究:
结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?
显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:
在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆.
2.思考:
如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?
如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:
(1)叫做的正弦(sine),记做,即;
(2)叫做的余弦(cossine),记做,即;
(3)叫做的正切(tangent),记做,即.
注意:
当α是锐角时,此定义与初中定义相同(指出对边,邻边,斜边所在);
当α不是锐角时,也能够找出三角函数,因为,既然有角,就必然有终边,终边就必然与单位圆有交点,从而就必然能够最终算出三角函数值.
3.思考:
如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?
前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关,仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,
.所以,三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.
4.探究:
请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表;
再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中:
三角函数
定义域
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
角度制
弧度制
5.思考:
根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:
(其中)
6.三角函数线
设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点
,过作轴的垂线,垂足为;
过点作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线交与点.
(Ⅰ)
(Ⅱ)
(Ⅳ)
(Ⅲ)
由四个图看出:
当角的终边不在坐标轴上时,有向线段,于是有
我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。
我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.
7.例题讲解
例1.已知角α的终边经过点,求α的三个函数制值。
解:
变式训练1:
已知角的终边过点,求角的正弦、余弦和正切值.
,.
例2.求下列各角的三个三角函数值:
(1);
(2);
(3).
解:
(1)sin0=0cos0=1tan0=0
(2)
(3)
变式训练2:
求的正弦、余弦和正切值.
例3.已知角α的终边过点,求α的三个三角函数值.
解析:
计算点到原点的距离时应该讨论a的正负.
变式训练3:
求函数的值域.
解析:
分四个象限讨论.
答案:
{2,-2,0}
例4..利用三角函数线比较下列各组数的大小:
1.与2.tan与tan
三、【学习小结】
(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同?
(2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗?
(3)请写出各三角函数的定义域;
(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?
你在解题时会准确熟练应用公式一吗?
(5)三角函数线的做法.
四、【作业布置】
作业:
习题1.2A组第1,2题.
五、【板书设计】
1.2.1任意角的三角函数
(一)复习引入
(二)概念形成1.三角函数定义2.三角函数线
(三)例题讲解
小结: