人教版高中数学必修一集合与函数基础知识讲解Word格式.doc
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给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。
如:
“地球上的四大洋”(太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋)。
“中国古代四大发明”
(造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;
而“比较大
的数”,“平面点P周围的点”一般不构成集合,因为组成它的元素是不确定的.
⑵互异性:
一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的。
.
如:
方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为1,-2,而不是1,1,-2
⑶无序性:
即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
练1:
判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:
⑴大于3小于11的偶数;
⑵我国的小河流;
⑶非负奇数;
⑷方程x2+1=0的解;
⑸某校2011级新生;
⑹血压很高的人;
⑺著名的数学家;
⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点
7.元素与集合的关系:
(元素与集合的关系有“属于”及“不属于”两种)
例如,我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合,则有3∈A,4A,等等。
练:
A={2,4,8,16},则4A,8A,32A.
(二)例题讲解:
例1.用“∈”或“”符号填空:
⑴8N;
⑵0N;
⑶-3Z;
⑷Q;
⑸设A为所有亚洲国家组成的集合,则中国A,美国A,印度A,英国A。
5页1题
例2.已知集合P的元素为,若2∈P且-1P,求实数m的值。
⑴考察下列对象是否能形成一个集合?
①身材高大的人②所有的一元二次方程
③直角坐标平面上纵横坐标相等的点④细长的矩形的全体
⑤比2大的几个数⑥的近似值的全体
⑦所有的小正数⑧所有的数学难题
⑵给出下面四个关系:
R,0.7Q,0{0},0N,其中正确的个数是:
()
A.4个B.3个C.2个D.1个
⑶下面有四个命题:
①若-aΝ,则aΝ②若aΝ,bΝ,则a+b的最小值是2
③集合N中最小元素是1④x2+4=4x的解集可表示为{2,2}
⑶其中正确命题的个数是(
⑷由实数-a,a,,2,-5为元素组成的集合中,最多有几个元素?
分别为什么?
⑸求集合{2a,a2+a}中元素应满足的条件?
⑹若{t},求t的值.
一、集合的表示方法
⒈列举法:
把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法。
如:
{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2},…;
说明:
⑴书写时,元素与元素之间用逗号分开;
⑵一般不必考虑元素之间的顺序;
⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序;
⑷集合中的元素可以为数,点,代数式等;
⑸列举法可表示有限集,也可以表示无限集。
当元素个数比较少时用列举法比较简单;
若集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表示。
⑹对于含有较多元素的集合,用列举法表示时,必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号,象自然数集N用列举法表示为
例1.用列举法表示下列集合:
(1)小于5的正奇数组成的集合;
(2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合;
(3)从51到100的所有整数的集合;
(4)小于10的所有自然数组成的集合;
(5)方程的所有实数根组成的集合;
⑹由1~20以内的所有质数组成的集合。
⒉描述法:
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,称为描述法。
。
方法:
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
一般格式:
{x|x-3>
2},{(x,y)|y=x2+1},{x|直角三角形},…;
说明:
描述法表示集合应注意集合的代表元素,如{(x,y)|y=x2+3x+2}与{y|y=x2+3x+2}是不同的两个集合,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:
{整数},即代表整数集Z。
辨析:
这里的{ }已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。
写法{实数集},{R}也是错误的。
用符号描述法表示集合时应注意:
1、弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是数还是点、还是集合、还是其他形式?
2、元素具有怎么的属性?
当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时,要去伪存真,而不能被表面的字母形式所迷惑。
例2.用描述法表示下列集合:
(1)由适合x2-x-2>
0的所有解组成的集合;
(2)到定点距离等于定长的点的集合;
(3)方程的所有实数根组成的集合
(4)由大于10小于20的所有整数组成的集合。
说明:
列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,
一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
练习:
5页2题
1.用适当的方法表示集合:
大于0的所有奇数
2.集合A={x|∈Z,x∈N},则它的元素是。
3.已知集合A={x|-3<
x<
3,x∈Z},B={(x,y)|y=x+1,x∈A},则集合B用列举法表示是
4.判断下列两组集合是否相等?
(1)A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1};
(2)A={自然数}与B={正整数}
二、集合的分类
观察下列三个集合的元素个数
1.{4.8,7.3,3.1,-9};
2.{xR∣0<
3};
3.{xR∣x2+1=0}
由此可以得到
集合的分类
三、文氏图
集合的表示除了上述两种方法以外,还有文氏图法,即
3,9,27
A
画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,如下图所示:
表示{3,9,27}
表示任意一个集合A
典型例题
【题型一】 元素与集合的关系
1、设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,求实数a,b.
2、已知集合A={a+2,(a+1)2,a2+3a+3}若1∈A,求实数a的值。
【题型二】 元素的特征
1、⑴已知集合M={x∈N∣∈Z},求M
⑵已知集合C={∈Z∣x∈N},求C
点拔:
要注意M与C的区别,集合M中的元素是自然数 x,满足是整数,集合
C是的元素是整数,满足条件是x∈N
1.给出下列四个关系式:
①∈R;
②πQ;
③0∈N;
④0其中正确的个数是()
A.1B.2C.3D.4
2.方程组 的解组成的集合是()
A.{2,1}B.{-1,2}C.(2,1)D.{(2,1)}
3.把集合{-3≤x≤3,x∈N}用列举法表示,正确的是()
A.{3,2,1}B.{3,2,1,0}C.{-2,-1,0,1,2}D.{-3,-2,-1,0,1,2,3}
4.下列说法正确的是()
A.{0}是空集 B. {x∈Q∣∈Z}是有限集
C.{x∈Q∣x2+x+2=0}是空集D.{2,1}与{1,2}是不同的集合
二填空题:
5、以实数为元素构成的集合的元素最多有 个;
6、以实数a2,2-a.,4为元素组成一个集合A,A中含有2个元素,则的a值为.
7、集合M={y∈Z∣y=,x∈Z},用列举法表示是M= 。
8、已知集合A={2a,a2-a},则a的取值范围是 。
三、解答题:
9、设A={x∣x2+(b+2)x+b+1=0,b∈R}求A的所有元素之和。
10.已知集合A={a,2b-1,a+2b}B={x∣x3-11x2+30x=0},若A=B,求a,b的值。
集合间的基本关系
比较下面几个例子,试发现两个集合之间的关系:
(1),;
(2),;
(3),
观察可得:
⒈子集:
对于两个集合A,B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集(subset)。
记作:
读作:
A包含于B,或B包含A
B
A
表示:
当集合A不包含于集合B时,记作A⊈B(或B⊉A)
用Venn图表示两个集合间的“包含”关系:
⒉集合相等定义:
如果A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,则集合A与集合B
中的元素是一样的,因此集合A与集合B相等,即若,则。
如:
A={x|x=2m+1,mZ},B={x|x=2n-1,nZ},此时有A=B。
⒊真子集定义:
若集合,但存在元素,则称集合A是集合B的真子集。
记作:
AB(或BA)读作:
A真包含于B(或B真包含A)
4.空集定义:
不含有任何元素的集合称为空集。
记作:
用适当的符号填空:
;
0;
{};
{}
5.几个重要的结论:
⑴空集是任何集合的子集;
对于任意一个集合A都有A。
⑵空集是任何非空集合的真子集;
⑶任何一个集合是它本身的子集;
⑷对于集合A,B,C,如果,且,那么。
填空:
⑴2N;
N;
A;
⑵已知集合A={x|x-3x+2=0},B={1,2},C={x|x<
8,x∈N},则
AB;
AC;
{2}C;
2C
⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系,集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系;
⑵在分析有关集合问题时,要注意空集的地位。
⑶结论:
一般地,一个集合元素若为n个,则其子集数为2n个,其真子集数为2n-1个,
特别地,空集的子集个数为1,真子集个数为0。
【题型1】集合的子集问题
1、写出集合{a,b,c}的所有子集,并指出其中哪些是真子集,哪些是非空的真子集。
2、已知集合M满足{2,3}M{1,2,3,4,5}求满足条件的集合M
3、已知集合A={