两角和与差的正弦余弦正切公式Word下载.doc
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教材整理2 两角和与差的正弦公式
阅读教材P128“探究”以下内容,完成下列问题.
1.公式
两角和的正弦
S(α+β)
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
α、β∈R
两角差的正弦
S(α-β)
sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
2.重要结论-辅助角公式
y=asinx+bcosx=sin(x+θ)(a,b不同时为0),其中cosθ=,sinθ=.
判断(正确的打“√”,错误的打“×
”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.( )
(2)存在α,β∈R,使得sin(α-β)=sinα-sinβ成立.( )
(3)对于任意α,β∈R,sin(α+β)=sinα+sinβ都不成立.( )
(4)sin54°
cos24°
-sin36°
sin24°
=sin30°
.( )
解:
(1)√.根据公式的推导过程可得.
(2)√.当α=45°
,β=0°
时,sin(α-β)=sinα-sinβ.
(3)×
.当α=30°
,β=-30°
时,sin(α+β)=sinα+sinβ成立.
(4)√.因为sin54°
=sin54°
-cos54°
=sin(54°
-24°
)=sin30°
,故原式正确.
【答案】
(1)√
(2)√ (3)×
(4)√
教材整理3 两角和与差的正切公式
阅读教材P129“探究”以下至“例3”以上内容,完成下列问题.
两角和的正切
T(α+β)
tan(α+β)=
α,β,α+β≠kπ+(k∈Z)且tanα·
tanβ≠1
两角差的正切
T(α-β)
tan(α-β)=
α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)且tanα·
tanβ≠-1
(1)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tanα+tanβ成立.( )
(2)对任意α,β∈R,tan(α+β)=都成立.( )
(3)tan(α+β)=等价于tanα+tanβ=tan(α+β)·
(1-tanαtanβ).( )
(1)√.当α=0,β=时,tan(α+β)=tan=tan0+tan,但一般情况下不成立.
(2)×
.两角和的正切公式的适用范围是α,β,α+β≠kπ+(k∈Z).
(3)√.当α≠kπ+(k∈Z),β≠kπ+(k∈Z),α+β≠kπ+(k∈Z)时,由前一个式子两边同乘以1-tanαtanβ可得后一个式子.
【答案】
(1)√
(2)×
(3)√
[小组合作型]
灵活应用和、差角公式化简三角函数式
(1)(2016·
济宁高一检测)
=( )
A.- B.-
C. D.
(2)化简求值:
①;
②sin(θ+75°
)+cos(θ+45°
)-cos(θ+15°
);
③(2016·
遵义四中期末)tan20°
+tan40°
+tan20°
·
tan40°
.
(1)化简求值应注意公式的逆用.
(2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值.
(1)
=
==sin30°
=.
【答案】 C
(2)①原式=
=tan(45°
+75°
)=tan120°
=-.
∴原式=-.
②设α=θ+15°
,
则原式=sin(α+60°
)+cos(α+30°
)-cosα
=+-cosα=0.
∴原式=0.
③原式=tan60°
(1-tan20°
)+tan20°
∴原式=.
1.公式T(α+β),T(α-β)是变形较多的两个公式,公式中有tanα·
tanβ,tanα+tanβ(或tanα-tanβ),tan(α+β)(或tan(α-β)).三者知二可表示出或求出第三个.
2.化简过程中注意“1”与“tan”、“”与“tan”、“”与“cos”等特殊数与特殊角的函数值之间的转化.
[再练一题]
1.化简求值:
(1)cos61°
cos16°
+sin61°
sin16°
;
(2)sin13°
cos17°
+cos13°
sin17°
(3).
(1)原式=cos(61°
-16°
)=cos45°
(2)原式=sin(13°
+17°
(3)原式==-=-.
给值求值
(2016·
普宁高一检测)已知<
α<
,0<
β<
,cos=-,sin=,求sin(α+β)的值.【导学号:
00680069】
可先考虑拆角,π+α+β=+,然后再利用sin(α+β)=-sin(π+α+β)求值.
因为<
π,所以<
+α<
π.
所以sin==.
又因为0<
,π<
π+β<
π,
所以cos=-=-,
所以sin(α+β)=-sin(π+α+β)
=-sin=
-
=-
1.本题属于给值求值问题,求解时,关键是从已知角间的关系入手,分析出已知角和待求角的关系.如本题中巧用β=(α+β)-α这一关系.
2.常见角的变换为
(1)2α+β=(α+β)+α,2α-β=(α-β)+α;
(2)=-,
=-;
(3)+=+(α+β);
(4)+=+(α-β).
2.已知cosα=-,α∈,tanβ=-,β∈,求cos(α+β).
因为α∈,
cosα=-,所以sinα=-.
因为β∈,tanβ=-,
所以cosβ=-,sinβ=.
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=-×
-×
给值求角
已知sinα=,sinβ=,且α,β为锐角,求α+β的值.
→→→
→
∵sinα=,α为锐角,
∴cosα==.
又sinβ=,β为锐角,
∴cosβ==.
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=×
又α,β∈,
∴0<
α+β<
因此α+β=.
1.求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小),导致求出的角不合题意或者漏解.
2.求角的大小,要解决两点:
(1)确定所求角的范围,
(2)求角的某一三角函数值,特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值.
3.若把本例题的条件改为“α∈,β∈,且cos(α-β)=,sinβ=-”,试求角α的大小.
∵α∈,β∈,∴α-β∈(0,π),
由cos(α-β)=,知sin(α-β)=.
由sinβ=-,知cosβ=.
∴sinα=sin[(α-β)+β]
=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ
+×
又α∈,∴α=.
[探究共研型]
辅助角公式的应用
探究1 函数y=sinx+cosx(x∈Z)的最大值为2对吗?
为什么?
【提示】 不对.因为sinx+cosx
=sin.
所以函数的最大值为.
探究2 函数y=3sinx+4cosx的最大值等于多少?
【提示】 因为y=3sinx+4cosx=5,
令cosφ=,sinφ=,
则y=5(sinxcosφ+cosxsinφ)=5sin(x+φ),
所以函数y的最大值为5.
探究3 如何推导asinx+bcosx=sin(x+φ)公式.
【提示】 asinx+bcosx
=,
令cosφ=,sinφ=,则
asinx+bcosx=(sinxcosφ+cosxsinφ)
=sin(x+φ)(其中φ角所在象限由a、b的符号确定,φ角的值由tanφ=确定,或由sinφ=和cosφ=共同确定).
当函数y=sinx-cosx(0≤x<
2π)取得最大值时,x=________.
可先用公式Sα±
β将函数化为y=Asin(ωx+φ)形式再求最大值对应的x值.
函数为y=sinx-cosx=2
=2
=2sin,
当0≤x<
2π时,-≤x-<
所以当y取得最大值时,x-=,所以x=.
【答案】
1.对于形如sinα±
cosα,sinα±
cosα的三角函数式均可利用特殊值与特殊角的关系,运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形式.
2.在解法上充分体现了角的变换和整体思想,在三角函数求值化简的变换过程中,一定要本着先整体后局部的基本原则.
4.函数f(x)=sinx-cos的值域为( )
A.[-2,2] B.
C.[-1,1] D.
f(x)=sinx-cos
=sinx-cosx+sinx
=sinx-cosx
=sin,
所以函数f(x)的值域为[-,].
故选B.
【答案】 B
[构建·
体系]
1.(2016·
清远期末)化简:
sin21°
cos81°
-cos21°
sin81°
等于( )
A. B.-
C. D.-
原式=sin(21°
-81°
)=-sin60°
=-.故选D.
【答案】 D
2.已知α是锐角,sinα=,则cos等于( )
A.- B.
C.- D.
因为α是锐角,sinα=,
所以cosα=,
所以cos=×
=.故选B.
3.函数y=sinx-cosx的最小正周期是( )
A. B.π
C.2π D.4π
y=sinx-cosx=sin,所以T=2π.
4.计算=________.
=tan45°
=1.
【答案】 1
5.已知α,β均为锐角,sinα=,cosβ=,求α-β.
∵α,β均为锐角,sinα=,cosβ=,
∴sinβ=,cosα=.
∵sinα<
sinβ,∴α<
β,∴-<
α-β<
0,
∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ
=-,∴α-β=-.
学业分层测评
[学业达标]
一、选择题
1.若α+β=,则(1+tanα)(1+tanβ)等于( )
A.1 B.-1
C.2 D.-2
(1+tanα)(1+tanβ)
=1+(tanα+tanβ)+tanαtanβ
=1+tan(α+β)(1-tanαtanβ)+tanαtanβ
=1+tan·
(1-tanαtanβ)+tanαtanβ=2.
2.cosα