三垂线法求二面角专题文档格式.doc
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此题也可证明,,从而平面ADE⊥平面BCE)
(Ⅱ)过点E作EF⊥AB与F
∵DA⊥平面ABE∴平面ABCD⊥平面ABE
∴EF⊥平面ABCD过F作FG⊥AC与G,连EG,则EG⊥AC(三垂线定理)
∴∠EGF为二面角B—AC—E的平面角。
在Rt△EFG中
此题答案还可写成或者是写成)
2、(本小题满分12分)如图,为直角梯形,,,,平面,。
⑴、求点到的距离;
A
B
C
D
P
G
H
F
⑵、求证:
平面平面;
⑶、求平面与平面所成二面角的大小。
⑴解:
取的中点,连结。
易证四边形是正方形,
∴又∵
∴,∴
∴
即
∵平面∴
∴到的距离为,
⑵证明:
∵,
且,
∴平面
又∵平面
∴平面平面
⑶解:
延长交的延长线于,连结。
∴平面平面,
易证平面
过作,垂足为,连结,
得到为所求二面角的平面角
,
∴∴平面与平面所成二面角为
此题答案还可写成或者是写成,并且也可用射影面积法求解)
3、(12分)如图:
已知四棱锥中,底面四边形为正方形,侧面PDC为正三角形,且平面PDC⊥底面ABCD,E为PC中点。
(1)求证:
平面EDB⊥平面PBC;
(2)求二面角的平面角的正切值。
【解析】
(1)要证两个平面互相垂直,常规的想法是:
证明其中一个平面过另一个平面的一条垂线。
首先观察图中已有的直线,不难发现,由于侧面PDC为正三角形,所以,,那么我们自然想到:
是否有?
这样的想法一经产生,证明它并不是一件困难的事情。
∵面PDC⊥底面ABCD,交线为DC,
∴DE在平面ABCD内的射影就是DC。
在正方形ABCD中,DC⊥CB,
∴DE⊥CB。
又,PC、,
∴DE⊥。
又面EDB,
∴平面EDB⊥平面PBC。
(2)由
(1)的证明可知:
DE⊥。
所以,就是二面角的平面角。
∵面PDC⊥底面ABCD,交线为DC,
又平面ABCD内的直线CB⊥DC。
∴CB⊥面PDC。
又面PDC,
∴CB⊥PC。
在Rt中,。
4、(12分)一副三角板拼成一个四边形ABCD,如图,然后将它沿BC折成直二面角.
平面ABD⊥平面ACD;
(2)求二面角A—BD—C的大小.
解析:
(1)证明:
取BC中点E,连结
AE,∵AB=AC,∴AE⊥BC
∵平面ABC⊥平面BCD,
∴AE⊥平面BCD,
∵BC⊥CD,由三垂线定理知AB⊥CD.
又∵AB⊥AC,∴AB⊥平面BCD,
∵AB平面ABD.∴平面ABD⊥平面ACD.
(2)解:
∵AE⊥面BCD,过E作EG⊥BD于
G,连结AG,由三垂线定理知AG⊥BD,
∴∠AGE为二面角A—BD—C的平面角
∵∠EBG=30°
,BE=m,∴EG=m
又AE=m,∴tanAGE==2,∴∠AGE=arctan2.
即二面角A—BD—C的大小为arctan2.