因式分解的常用方法及练习题Word格式.docx
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三、十字相乘法.
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式：
进行分解。
|
特点：
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：
#
练习5、分解因式
（1）
（2）（3）
}
练习6、分解因式
（1）
（2）（3）
】
（二）二次项系数不为1的二次三项式——
条件：
（1）
（2）
（3）
分解结果：
=
例7、分解因式：
~
练习7、分解因式：
（1）
（2）
^
（3）（4）
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：
分析：
将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+（-16b）=-8b
解：
=
练习8、分解因式
（1）
（2）（3）
》
（四）二次项系数不为1的齐次多项式
例9、例10、
:
1-2y把看作一个整体1-1
2-3y1-2
（-3y）+（-4y）=-7y（-1）+（-2）=-3
解：
原式=解：
原式=
练习9、分解因式：
$
综合练习10、
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6）
"
（7）（8）
（9）（10）
，
四、分组分解法.
￥
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
=每组之间还有公因式！
=
例2、分解因式：
解法一：
第一、二项为一组；
解法二：
第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
原式=原式=
==
练习：
分解因式1、2、
.
（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
例4、分解因式：
?
分解因式3、4、
>
综合练习：
…
：
五、换元法。
例13、分解因式
（1）
（2）
（1）设2005=，则原式=
（2）型如的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
—
原式=
设，则
∴原式==
==
练习13、分解因式
（1）
（2）
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式
（1）
解法1——拆项。
解法2——添项。
原式=原式=
======
==
练习15、分解因式
（1）
（2）（3）
]
、
第二部分：
习题大全
经典一：
一、填空题
1.把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式：
m3-4m=.
3.分解因式：
x2-4y2=_______.
4、分解因式：
=_________________。
5.将xn-yn分解因式的结果为（x2+y2）（x+y）（x-y），则n的值为.
6、若，则=_________，=__________。
二、选择题
`
7、多项式的公因式是（）
A、B、C、D、
8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）
A、B、
C、D、
10.下列多项式能分解因式的是（）
（A）x2-y（B）x2+1（C）x2+y+y2（D）x2-4x+4
11．把（x－y）2－（y－x）分解因式为（）
·
A．（x－y）（x－y－1）B．（y－x）（x－y－1）
C．（y－x）（y－x－1）D．（y－x）（y－x＋1）
12．下列各个分解因式中正确的是（）
A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）
B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）
C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋y－1）
D．（a－2b）（3a＋b）－5（2b－a）2＝（a－2b）（11b－2a）
？
13.若k-12xy+9x2是一个完全平方式，那么k应为（）
三、把下列各式分解因式：
14、15、
16、17、
18、19、；
五、解答题
20、如图，在一块边长=的正方形纸片中，挖去一个边长=的正方形。
求纸片剩余部分的面积。
21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径，外径长。
利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（取，结果保留2位有效数字）
22、观察下列等式的规律，并根据这种规律写出第（5）个等式。
1.分解因式（1+y）²
-2x²
（1+y²
）+x4（1-y）²
2.证明：
对于任何数x,y，下式的值都不会为33
x5+3x4y-5x3y2+4xy4+12y5
因式分解小结
因式分解的一般步骤是：
（1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。
即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；
如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式法继续分解；
（2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；
1.通过基本思路达到分解多项式的目的
例1.分解因式
）
分析：
这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；
也可把，，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。
解一：
原式
解二：
2.通过变形达到分解的目的
将拆成，则有
将常数拆成，则有
3.在证明题中的应用
例：
求证：
多项式的值一定是非负数
现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。
本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。
证明：
<
设，则
4.因式分解中的转化思想
分解因式：
本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c与a+2b+c的关系，努力寻找一种代换的方法。
设a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B
说明：
在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。
中考点拨
1、在中，三边a,b,c满足求证：
【
2、若x为任意整数，求证：
的值不大于100。
3、将
试卷（因式分解）
一、填空：
（30分）
1、若是完全平方式，则的值等于_____。
2、则=____=____3、与的公因式是＿
4、若=，则m=_______，n=_________。
5、在多项式中，可以用平方差公式分解因式的
有________________________，其结果是_____________________。
6、若是完全平方式，则m=_______。
7、
8、已知则
9、若是完全平方式M=________。
10、，
11、若是完全平方式，则k=_______。
14、若则___。
12、若的值为0，则的值是________。
13、若则=_____。
15、方程，的解是________。
二、选择题：
（10分）
1、多项式的公因式是（）
A、－a、B、C、D、
2、若，则m，k的值分别是（）
A、m=—2，k=6，B、m=2，k=12，C、m=—4，k=—12、Dm=4，k=12、
3、下列名式：
中能用平方差公
式分解因式的有（）
A、1个，B、2个，C、3个，D、4个
4、计算的值是（）
A、B、
三、分解因式：
1、2、3、4、
5、6、7、8、
四、代数式求值（15分）
1、已知，，求的值。
2、若x、y互为相反数，且，求x、y的值
3、已知，求的值
五、计算：
（15）
（1）
（2） （3）
六、试说明：
（8分）
1、对于任意自然数n，都能被动24整除。
2、两个连续奇数的积加上其中较大的数，所得的数就是夹在这两个连续奇数之间的偶数与较大奇数的积。
七、利用分解因式计算（8分）
1、一种光盘的外D=厘米，内径的d=厘米，求光盘的面积。
（结果保留两位有效数字）
2、正方形1的周长比正方形2的周长长96厘米，其面积相差960平方厘米求这两个正方形的边长。
八、老师给了一个多项式，甲、乙、丙、丁四个同学分别对这个多项式进行了描述：
甲：
这是一个三次四项式
乙：
三次项系数为1，常数项为1。
丙：
这个多项式前三项有公因式
丁：
这个多项式分解因式时要用到公式法
若这四个同学描述都正确请你构造一个同时满足这个描述的多项式，并将它分解因式。
（4分）
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