高考圆锥曲线中及定点与定值问题题型总结超全文档格式.docx
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要使其为定值，需满足，
解得.
故定点的坐标为.
点睛：
解析几何中定点问题的常见解法
（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为的直线经过点与抛物线（为常数）交于不同的两点，当时，弦的长为.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线交抛物线于另一点，且直线经过点，判断直线是否过定点？
若过定点，求出该点坐标；
若不过定点，请说明理由.
（1）;
（2）直线过定点
（1）根据弦长公式即可求出答案；
（2）由
（1）可设，则，
则；
同理：
.
由在直线上
（1）；
由在直线上将
（1）代入
（2）
将
（2）代入方程，即可得出直线过定点．
（2）设，则，
则即；
；
由在直线上，即
（1）；
将
（2）代入方程，易得直线过定点
3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线过点，是上一点，斜率为的直线交于不同两点（不过点），且的重心的纵坐标为.
（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标；
（2）记直线的斜率分别为，求的值.
（1）方程为;
其焦点坐标为
（2）
【解析】试题分析;
（1）将代入，得，可得抛物线的方程及其焦点坐标；
（2）设直线的方程为，将它代入得，利用韦达定理，结合斜率公式以及的重心的纵坐标，化简可的值；
因为的重心的纵坐标为，
所以，所以，所以，
所以，
又
所以.
4．已知椭圆的短轴端点到右焦点的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点，交直线于点，若，
，求证：
为定值．
（1）;
（2）详见解析.
（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；
（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.
（Ⅱ）由题意直线过点，且斜率存在，设方程为,
将代人得点坐标为，
由，消元得，
设，，则且，
方法一：
因为，所以.
同理，且与异号，
所以
.
所以，为定值.
当时，同理可得.
所以
.
又当直线与轴重合时，，
【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于或的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线过点，在设方程时，往往设为，可减少讨论该直线是否存在斜率.
5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线：
，为的焦点，过的直线与相交于两点.
（1）设的斜率为1，求；
（2）求证：
是一个定值.
（1）
（2）见解析
（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；
（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；
（2）证明：
设直线的方程为，
由得
∴，
，
∵，
∴是一个定值.
熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成也给解题带来了方便.
6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C:
的离心率为,右焦点为（,0）.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A,B两点,求证:
点O到直线AB的距离为定值.
（1）,
（2）O到直线的距离为定值.
（1）根据焦点和离心率列方程解出a，b，c；
（2）对于AB有无斜率进行讨论，设出A，B坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；
有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）=0代入,得4m2=3k2+3原点到直线AB的距离，当AB的斜率不存在时,,可得,依然成立.所以点O到直线的距离为定值.
本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．
7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）已知为双曲线上不同两点，点在以为直径的圆上，求的值．
（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；
（2）由条件可得，可设出直线的方程，代入双曲线方程求得点的坐标可求得。
（Ⅱ）由题意知。
设直线方程为，
由，解得，
∴。
由直线方程为.以代替上式中的，可得
。
8．【湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考】已知椭圆E:
经过点P（2,1），且离心率为．
（Ⅱ）设O为坐标原点，在椭圆短轴上有两点M，N满足，直线PM、PN分别交椭圆于A，B．探求直线AB是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由．
（1）；
（2）直线AB过定点Q（0，﹣2）.
（1）根据椭圆的几何性质得到椭圆方程；
（2）先由特殊情况得到结果，再考虑一般情况，联立直线和椭圆得到二次函数，根据韦达定理，和向量坐标化的方法，得到结果。
x1+x2=，x1x2=，
又直线PA的方程为y﹣1=（x﹣2），即y﹣1=（x﹣2），
因此M点坐标为（0，），同理可知：
N（0，），
当且仅当t=﹣2时，对任意的k都成立，直线AB过定点Q（0，﹣2）.
9．【广西桂林市第十八中学2018届高三上学期第三次月考】已知椭圆的左，右焦点分别为.过原点的直线与椭圆交于两点，点是椭圆上的点，若，，且的周长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆在点处的切线记为直线，点在上的射影分别为，过作的垂线交轴于点，试问是否为定值？
若是，求出该定值；
若不是，请说明理由.
（2）1.
（1）设，则，∴，设，，以及，，由,由椭圆的定义可得，结合，综合可得：
，可得椭圆的方程；
（2）由
（1）知，直线的方程为：
，由此可得
.，又∵，∴的方程为，可得
则可得，又，∴.，故.
当直线平行于轴时，易知，结论显然成立.
综上，可知为定值1.
有，则
∵，综合可得：
∴椭圆的方程为：
即：
，所以
∴.
∵，∴的方程为，令，可得，∴
则
又点到直线的距离为，∴.
综上，.
【点睛】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是解析几何的综合应用，难度较大．
10．【云南省玉溪第一中学2018届高三上学期第三次月考】在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点,O为坐标原点．
（1）如果直线过抛物线的焦点且斜率为1，求的值；
（2）如果，证明：
直线必过一定点，并求出该定点.
（1）8；
（2）证明见解析
（Ⅰ）根据抛物线的方程得到焦点的坐标，设出直线与抛物线的两个交点和直线方程，是直线的方程与抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系，求出弦长；
（Ⅱ）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于y的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于﹣4，做出数量积表示式中的b的值，即得到定点的坐标．
令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，
∴直线l过定点（2,0）．∴若·
＝－4，则直线l必过一定点．
定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
11．【黑龙江省佳木斯市第一中学2017-2018学年高二上学期期中】已知椭圆，且椭圆上任意一点到左焦点的最大距离为，最小距离为.
（2）过点的动直线交椭圆于两点，试问：
在坐标平面上是否存在一个定点，使得以线段为直径的圆恒过点?
若存在，求出点的坐标：
若不存在，请说明理由.
（1）椭圆方程为;
（2）以线段为直径的圆恒过点.
当与轴平行时，以线段为直径的圆的方程为.
故若存在定点，则的坐标只可能为.
下面证明为所求：
若直线的斜率不存在，上述己经证明.
若直线的斜率存在，设直线，，
∴，即以线段为直径的圆恒过点.
这个题是圆锥曲线中的典型题目，证明定值定点问题。
第一问考查几何意义，第二问是常见的将图的垂直关系，转化为数量关系，将垂直转化为向量点积为0，再者就是向量坐标化的意识。
还有就是这种证明直线过定点问题，可以先通过特殊位置猜出结果，再证明。
12．【四川省成都市新津中学2018届高三11月月考】已知椭圆的离心率为，且过点.
（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为的直线交椭圆于两点，求证：
为定值.
（2）证明见解析.
（1）由椭圆的离心率，求得，由，得，将点代入，即可求得和的值，求得椭圆方程；
（2）设，直线的方程是与椭圆的方程联立，利用韦达，根据两点间的距离公式将用表示，化简后消去即可得结果.
（定值），为定值.
【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程、韦达定理的应用以及圆锥曲线的定值问题，属于难题.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：
①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
13．【北京朝阳日坛中学2016-2017学年高二上学期期中】已知椭圆的离心率为，半焦距为，且，经过椭圆的左焦点，斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点．
（I）求椭圆的标准方程．
（II）设，延长，分别与椭圆交于，两点，直线的斜率为，求证：
（I）；
（II）见解析.
【解析】试题
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