高考数学试题1987年试题Word文档下载推荐.docx
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│a│+│b│
[Key]（3）B
（4）已知E,F,G,H为空间中的四个点,设
命题甲:
点E,F,G,H不共面.
命题乙:
直线EF和GH不相交.
那么
（A）甲是乙的充分条件,但不是必要条件.
（B）甲是乙的必要条件,但不是充分条件.
（C）甲是乙的充要条件.
（D）甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件.
[Key]（4）A
（5）在区间（-∞,0）上为增函数的是
[Key]（5）B
[Key]（6）D
（7）极坐标方程ρ=sinθ+2cosθ所表示的曲线是
（A）直线（B）圆
（C）双曲线（D）抛物线
[Key]（7）B
[Key]（8）A
二、只要求写出结果.
（3）若（1+x）n的展开式中,x3的系数等于x的系数的7倍,求n.
（5）在抛物线y=4x2上求一点,使该点到直线y=4x-5的距离为最短.
（6）由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数.求这种五位数的个数.
（7）一个正三棱台的下底和上底的周长分别为30cm和12cm,而侧面积等于两底面积之差,求斜高.
[Key]二、本题考查基础知识和基本运算,只需写出结果.
三、求sin10°
sin30°
sin50°
sin70°
的值.
[Key]三、本题考查三角的恒等变形知识和运算能力.
解法一:
sin10°
∴sin10°
解法二:
∵sin10°
.
解法三:
=
四、如图,三棱锥P_ABC中,已知PA⊥BC,PA=BC=L,PA,BC的公垂线ED=h.
[Key]四、本题考查直线和平面的位置关系、体积计算等知识和推理能力.
证明:
连结AD和PD.
∵BC⊥PA，BC⊥ED，PA与ED相交，
∴BC⊥平面PAD,
三棱锥B_PAD体积
同理,三棱锥C_PAD的体积
∴三棱锥P_ABC体积
∵V=V1+V2,
若E,D不是分别在线段AP,BC上,结论仍成立.
五、设对所有实数x,不等式
恒成立,求a的取值范围.
[Key]五、本题考查对数、不等式等知识和运算能力.
解:
由题意得
化简为z（6-z）<
0,
解得z>
6,或z<
0.④
①式变形为log28-z>
∴z<
3,⑤
综合④,⑤得z<
解①，⑥得a的取值范围：
0<
a<
1.
六、设复数z1和z2满足关系式
其中A为不等于0的复数.证明:
（1）│z1+A││z2+A│=│A│2;
[Key]六、本题考查复数知识和运算以及推理能力.
（1）由已知的关系式得
∵│z1+A││z2+A│
由①证得
│z1+A││z2+A│=││A│2│=│A│2.②
（2）∵A≠0,由①得
z1+A≠0,
由此得
由②得
（1）由题设
所以证得
（2）
以
（1）中的结果代入得
令z1+A=r（cosα+isinα）,z2+A=s（cosβ+isinβ）,
由于A≠0,我们有r≠0,s≠0.
由①得
rs[cos（α-β）+isin（α-β）]=│A│2,
于是
rscos（α-β）=│A│2,sin（α-β）=0,
∴cos（α-β）=1,
rs=│A│2,
而│z1+A││z2+A│=rs,
所以证得│z1+A││z2+A│=│A│2.
解法四:
（1）│z1+A││z2+A│
=│A│2.
（2）由A≠0和
（1）的结论知z2+A≠0.
利用
（1）的结果
七、设数列a1,a2,…,an,…的前n项的和Sn与an的关系是
其中是b与n无关的常数,且b≠-1.
（1）求an和an-1的关系式;
（2）写出用n和b表示an的表达式;
[Key]七、本题考查数列、极限等知识和运算以及推理能力.
（1）an=Sn-Sn-1
由此解得
由此推得
把②代入③得
∵0<
b<
1时
所以当0<
（1）同解法一，
（2）同解法一得,
我们来证明
由②知n=1时③式成立.
设n=K时③式成立,则由递推公式①有
即当n=K+1时③式也成立.由归纳原理,对任意自然数n,③式成立.
以下同解法一.
（3）同解法一.
八、定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=x上移动,记线段AB的中点为M.求点M到y轴的最短距离,并求此时点M的坐标.
[Key]八、本题考查距离公式、中点坐标等解析几何知识、最小值知识及分析问题的能力.
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,AB长度为3,那么
32=（x2-x1）2+（y2-y1）2
=（y2-y1）2·
[（y2+y1）2+1].②
线段AB的中点M（x,y）到y轴的距离为
并且当
（y1-y2）2=（y1+y2）2+1=3③
下面证明x能达到最小值,根据题意不防设y1>
y2,由③得
设A（x1,y1）和B（x2,y2）,那么
32=（x2-x1）2+（y2-y1）2.②
AB中点M（x,y）到y轴的距离
整理得
4（y1y2）2+2y1y2+32-4x2-2x=0,④
因y1y2为实数,故
△=4-4×
4（32-4x2-2x）≥0,
16x2+8x+1≥4×
32,
（4x+1）2≥4×
因为x≥0,所以
4x+1≥6,
由⑥,⑦可解得y1,y2,由①即得相应x1,x2,故AB中点M距y轴最短距离为
且相应中点坐标为
同解法二得④,由此得
以下同解法二.
九、（附加题,不计入总分）
（2）设y=xln（1+x2）,求y′.
[Key]九、本题考查极限和导数运算.
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