高考数学理一轮复习题库86空间向量及其运算Word格式.docx
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①两向量的夹角
已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a,b的夹角,记作〈a,b〉,其范围是0≤〈a,b〉≤π,若〈a,b〉=,则称a与b互相垂直,记作a⊥b.
②两向量的数量积
已知空间两个非零向量a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做向量a,b的数量积,记作a·
b,即a·
b=|a||b|cos〈a,b〉.
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律:
(λa)·
b=λ(a·
b);
②交换律:
a·
b=b·
a;
③分配律:
(b+c)=a·
b+a·
c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3).
向量表示
坐标表示
数量积
b
a1b1+a2b2+a3b3
共线
a=λb(b≠0,λ∈R)
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
垂直
b=0(a≠0,b≠0)
a1b1+a2b2+a3b3=0
模
|a|
夹角
〈a,b〉(a≠0,b≠0)
cos〈a,b〉=
【知识拓展】
1.向量三点共线定理:
在平面中A、B、C三点共线的充要条件是:
=x+y(其中x+y=1),O为平面内任意一点.
2.向量四点共面定理:
在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是:
=x+y+z(其中x+y+z=1),O为空间中任意一点.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×
”)
(1)空间中任意两非零向量a,b共面.( √ )
(2)在向量的数量积运算中(a·
b)·
c=a·
(b·
c).( ×
)
(3)对于非零向量b,由a·
c,则a=c.( ×
(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.( ×
(5)若A、B、C、D是空间任意四点,则有+++=0.( √ )
1.已知正四面体ABCD的棱长为a,点E,F分别是BC,AD的中点,则·
的值为( )
A.a2B.a2C.a2D.a2
答案 C
解析 如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60°
.=(a+b),=c,
∴·
=(a+b)·
c=(a·
c+b·
c)=(a2cos60°
+a2cos60°
)=a2.
2.(2016·
大连模拟)向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2),下列结论正确的是( )
A.a∥b,a∥cB.a∥b,a⊥c
C.a∥c,a⊥bD.以上都不对
解析 因为c=(-4,-6,2)=2(-2,-3,1)=2a,
所以a∥c.
又a·
b=(-2)×
2+(-3)×
0+1×
4=0,
所以a⊥b.故选C.
3.与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是________________________.
答案 和
解析 因为与向量a共线的单位向量是±
,又因为向量(-3,-4,5)的模为=5,所以与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是±
(-3,-4,5)=±
(-3,-4,5).
4.如图,在四面体O-ABC中,=a,=b,=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则=________.(用a,b,c表示)
答案 a+b+c
解析 =+=++
=a+b+c.
5.(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD中点,则EF的长为________.
答案
解析 ||2=2=(++)2
=2+2+2+2(·
+·
)
=12+22+12+2(1×
2×
cos120°
+0+2×
1×
=2,
∴||=,∴EF的长为.
题型一 空间向量的线性运算
例1
(1)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
用,,表示,则=________________.
答案 ++
解析 ==(+),
∴=+=(+)+
=++.
(2)三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重心,用基向量,,表示,.
解 =+=+
=+(-)
=+[(+)-]
=-++.
=+=-++
思维升华 用已知向量表示某一向量的方法
用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
(2016·
青岛模拟)如图所示,在空间几何体ABCD-A1B1C1D1中,各面为平行四边形,设=a,=b,=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:
(1);
(2)+.
解
(1)因为P是C1D1的中点,
所以=++
=a++
=a+c+=a+c+b.
(2)因为M是AA1的中点,
所以=+=+
=-a+(a+c+b)
又=+=+
=+=c+a,
所以+=(a+b+c)+(a+c)
题型二 共线定理、共面定理的应用
例2 (2016·
天津模拟)如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.
(1)求证:
E,F,G,H四点共面;
(2)求证:
BD∥平面EFGH;
(3)设M是EG和FH的交点,求证:
对空间任一点O,有=(+++).
证明
(1)连接BG,
则=+
=+(+)
=++
=+,
由共面向量定理的推论知E,F,G,H四点共面.
(2)因为=-
=-
=(-)=,
所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,
所以BD∥平面EFGH.
(3)找一点O,并连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG.
由
(2)知=,
同理=,
所以=,即EH綊FG,
所以四边形EFGH是平行四边形,
所以EG,FH交于一点M且被M平分.
故=(+)
=+
=[(+)]+[(+)]
=(+++).
思维升华
(1)证明空间三点P,A,B共线的方法
①=λ(λ∈R);
②对空间任一点O,=+t(t∈R);
③对空间任一点O,=x+y(x+y=1).
(2)证明空间四点P,M,A,B共面的方法
①=x+y;
②对空间任一点O,=+x+y;
③对空间任一点O,=x+y+z(x+y+z=1);
④∥(或∥或∥).
已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,若点M满足=(++).
(1)判断,,三个向量是否共面;
(2)判断点M是否在平面ABC内.
解
(1)由题意知++=3,
∴-=(-)+(-)
即=+=--,
∴,,共面.
(2)由
(1)知,,共面且基线过同一点M,
∴M,A,B,C四点共面.
从而点M在平面ABC内.
题型三 空间向量数量积的应用
例3 (2017·
济南月考)如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°
.
(1)求线段AC1的长;
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;
(3)求证:
AA1⊥BD.
(1)解 设=a,=b,=c,
则|a|=|b|=1,|c|=2,a·
b=0,c·
a=c·
b=2×
=-1.
∵=+=++=a+b+c,
∴||=|a+b+c|
=
==.
∴线段AC1的长为.
(2)解 设异面直线AC1与A1D所成的角为θ,
则cosθ=|cos〈,〉|=.
∵=a+b+c,=b-c,
=(a+b+c)·
(b-c)=a·
b-a·
c+b2-c2=0+1+12-22=-2,
||==
∴cosθ==||=.
故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.
(3)证明 ∵=c,=b-a,
=c·
(b-a)=c·
b-c·
a=(-1)-(-1)=0,
∴⊥,∴AA1⊥BD.
思维升华
(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置;
(2)利用夹角公式,可以求异面直线所成的角,也可以求二面角;
(3)可以通过|a|=,将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.
如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60°
(1)求的长;
(2)求与夹角的余弦值.
解
(1)记=a,=b,=c,
则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°
,
∴a·
c=c·
a=.
||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·
b+b·
c+c·
a)=1+1+1+2×
(++)=6,
∴||=,即AC1的长为.
(2)=b+c-a,=a+b,
∴||=,||=,
·
=(b+c-a)·
(a+b)
=b2-a2+a·
c=1,
∴cos〈,〉==.
即与夹角的余弦值为.
18.坐标法在立体几何中的应用
典例 (12分)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,在底面△ABC中,CA=CB=1,∠BCA=90°
,棱AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点.
(1)求的模;
(2)求cos〈,〉的值;
A1B⊥C1M.
思想方法指导 利用向量解决立体几何问题时,首先要将几何问题转化成向量问题,通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解.
规范解答
(1)解 如图,建立空间直角坐标系.
依题意得B(0,1,0),N(1,0,1),
所以||==.[2分]
(2)解 依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2).
所以=(1,-1,2),=(0,1,2),
=3,||=,||=,
所以cos〈,〉=
=.[6分]
(3)证明 依题意得C1(0,0,2),M(,,2),
=(-1,1,-2),
=(,,0).[9分]
所以·
=-++0=0,
所以⊥,即A1B⊥C1M.[12分]
1.在下列命题中:
①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;
②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;
③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;
④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.
其中正确命题的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
答案 A
解析 a与b共线,a,b所在的直线也可能重合,故①不正确;
根据自由向量的意义知,空间任意两向量a,b都共面,故②不正确;
三个向量a,b,c中任