江苏省盐城市届高三数学第四次模拟考试试题文档格式.docx

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b>

0）的右顶点和右焦点，B1，B2为椭圆C短轴的两个端点．若点F恰为△AB1B2的重心，则椭圆C的离心率的值为________．

（第9题）

9.如图，三棱柱ABCA1B1C1的体积为6，O为四边形BCC1B1的中心，则四面体A1B1OB的体积为________．

10.已知正项数列{an}满足an＋1＝2＋＋＋…＋，其中n∈N*，a4＝2，则a2019＝________．

11.已知圆O的半径为2，点A，B，C为该圆上的三点，且AB＝2，·

>

0，则·

（＋）的取值范围是________.

12.在△ABC中，角A，B，C所对的三边分别为a，b，c，且c2＝a2＋b2＋ab，则的取值范围是________．　

13.已知函数f（x）＝x＋4sinx．若不等式kx＋b1≤f（x）≤kx＋b2对一切实数x恒成立，则b2－b1的最小值为________.

14.已知max{a，b}＝f（x）＝max{lnx－tx－，x2－tx－e}（e自然对数的底数）．若f（x）≥－2在x∈[1，e]上恒成立，则实数t的取值范围是________．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

如图，在三棱锥ABCD中，AE⊥BC于E，M，N分别是AE，AD的中点．

（1）求证：

MN∥平面BCD；

（2）若平面ABC⊥平面ADM，求证：

AD⊥BC.

16.（本小题满分14分）

设向量a＝（2cosx，2sinx），b＝（cosx，cosx），函数f（x）＝a·

b－.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）若f（）＝－，且α∈（，π），求cosα的值.

17.（本小题满分14分）

如图，某人承包了一块矩形土地ABCD用来种植草莓，其中AB＝99m,AD＝49.5m．现规划建造如图所示的半圆柱型塑料薄膜大棚n（n∈N*）个，每个半圆柱型大棚的两半圆形底面与侧面都需蒙上塑料薄膜（接头处忽略不计），塑料薄膜的价格为每平方米10元；

另外，还需在每两个大棚之间留下1m宽的空地用于建造排水沟与行走小路（如图中EF＝1m），这部分的建设造价为每平方米31.4元．

（1）当n＝20时，求蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积（结果保留π）；

（2）试确定大棚的个数，使得上述两项费用的和最低？

（计算中π取3.14）

18.（本小题满分16分）

在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：

0）经过点P（，1），且点P与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为－.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C上存在两点Q，R，使得△PQR的垂心（三角形三条高的交点）恰为坐标原点O，试求直线QR的方程.

19.（本小题满分16分）

设函数f（x）＝x－aex（e为自然对数的底数，a∈R）．

（1）当a＝1时，求函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程；

（2）若函数f（x）在区间（0，1）上具有单调性，求a的取值范围；

（3）若函数g（x）＝（ex－e）f（x）有且仅有3个不同的零点x1，x2，x3，且x1<

x2<

x3，x3－x1≤1，求证：

x1＋x3≤.

20.（本小题满分16分）

在无穷数列{an}中，an>

0（n∈N*），记{an}前n项中的最大项为kn，最小项为rn，令bn＝.

（1）若{an}的前n顶和Sn满足Sn＝.

①求bn；

②是否存在正整数m，n满足＝？

若存在，请求出这样的m，n；

若不存在，请说明理由；

（2）若数列{bn}是等比数列，求证：

数列{an}是等比数列.

2019届高三模拟考试试卷

数学附加题

（满分40分，考试时间30分钟）

21.【选做题】在A，B，C三小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A.（选修42：

矩阵与变换）

已知直线l：

2x－y－3＝0在矩阵M＝所对应的变换TM下得到直线l′，求直线l′的方程．

B.（选修44：

坐标系与参数方程）

已知点P是曲线C：

（θ为参数，π≤θ≤2π）上一点，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，求点P的坐标．

C.（选修45：

不等式选讲）

求不等式4－2|x＋2|≤|x－1|的解集．

【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22.如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AC＝AD＝3，PA＝BC＝4.

（1）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

23.某种质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别标有数字0，1，2，3，将这个玩具抛掷n次，记第n次抛掷后玩具与桌面接触的面上所标的数字为an，数列{an}的前n和为Sn.记Sn是3的倍数的概率为P（n）．

（1）求P

（1），P

（2）；

（2）求P（n）．

2019届高三模拟考试试卷（盐城）

数学参考答案及评分标准

1.{－1，0，3}　2.　3.2　4.6.8　5.37　6.　7.－1　8.　9.1　10.

11.（－6，4]　12.（－1，1）　13.8　14.（－∞，2e－]

15.证明：

（1）连结DE，因为M，N分别是AE，AD的中点，

所以MN∥DE.（2分）

又MN平面BCD，DE平面BCD，

所以MN∥平面BCD.（6分）

（2）因为平面ABC⊥平面ADM，平面ABC∩平面ADM＝AE，

BC平面BCD，BC⊥AE，

所以BC⊥平面ADM.（12分）

又AD平面ADM，所以AD⊥BC.（14分）

16.解：

（1）因为f（x）＝a·

b－＝（2cosx，2sinx）·

（cosx，cosx）－

＝2cos2x＋2sinxcosx－＝cos2x＋sin2x＝2sin（2x＋）．（4分）

所以f（x）的最小正周期为T＝＝π.（6分）

（2）因为f（）＝－，所以2sin（α＋）＝－，即sin（α＋）＝－.（8分）

因为α∈（，π），所以α＋∈（，），

故cos（α＋）＝－＝－＝－，（10分）

所以cosα＝cos[（α＋）－]＝cos（α＋）＋sin（α＋）

＝×

（－）＋×

（－）＝－.（14分）

17.解：

（1）设每个半圆柱型大棚的底面半径为r.

当n＝20时，共有19个空地，所以r＝＝2m，（2分）

所以每个大棚的表面积（不含与地面接触的面）为

S＝πr2＋πr×

AD＝π×

22＋2π×

49.5＝103π（m2）．

即蒙一个大棚所需塑料薄膜的面积为103πm2.（6分）

（2）设两项费用的和为f（n）．

因为r＝＝，所以每个大棚的表面积（不含与地面接触的面）为

（）2＋π×

49.5×

，（8分）

则f（n）＝10nS＋31.4×

1×

49.5（n－1）

＝10n＋31.4×

＝31.4×

[＋49.5×

＋49.5（n－1）]

[＋99（100－n）＋198（n－1）]

（＋100n＋9502）＝×

[100×

（＋n）＋9502]．（12分）

所以，当且仅当＝n，即n＝10时，f（n）取得最小值．

答：

当大棚的个数为10个时，上述两项费用的和最低．（14分）

18.解：

（1）由题意，得（2分）

解得所以椭圆C的方程为＋＝1.（4分）

（2）设Q（x1，y1），R（x2，y2）．因为QR⊥PO，而kPO＝，所以kQR＝－，

故可设直线QR的方程为y＝－x＋m.（6分）

联立消去y，得5x2－4mx＋2m2－4＝0.

由Δ>

0得32m2－20（2m2－4）>

0，解得m2<

10　（*），

且x1＋x2＝，x1x2＝.（8分）

又QO⊥PR，所以kQO·

kPR＝－1，得·

＝－1，

即·

＝－1，整理，得3x1x2－m（x1＋x2）＋m2－m＝0，（12分）

所以3×

－m×

＋m2－m＝0，

即3m2－5m－12＝0，解得m＝3或m＝－均适合（*）式．（14分）

当m＝3时，直线QR恰好经过点P，不能构成三角形，不合题意，故舍去．

所以直线QR的方程为y＝－x－.（16分）

（注：

若增解未舍的，扣1分）

19.

（1）解：

当a＝1时，f（x）＝x－ex，f′（x）＝1－ex，f′

（1）＝1－e，f

（1）＝1－e，

故f（x）的图象在x＝1处的切线方程为y－（1－e）＝（1－e）（x－1），即y＝（1－e）x.（2分）

（2）解：

由f′（x）＝1－aex，

①若函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，则f′（x）＝1－aex≥0恒成立，得a≤e－x恒成立．

∵x∈（0，1），∴e－x∈（，1），∴a≤；

（5分）

②若函数f（x）在区间（0，1）上单调递减，则f′（x）＝1－aex≤0恒成立，得a≥e－x恒成立．

∵x∈（0，1），∴e－x∈（，1），∴a≥1.

综上，a的取值范围是（－∞，]∪[1，＋∞）．（8分）

（3）证明：

函数g（x）＝（ex－e）f（x）的零点即为方程（ex－e）f（x）＝0的实数根，

故ex－e＝0或f（x）＝0.

由ex－e＝0，得x＝1，（9分）

∴f（x）＝0有且仅有2个不等于1的不同零点．

由f（x）＝0，得－a＝0，设h（x）＝－a，则h′（x）＝.

由h′（x）＝>

0，得x<

1；

由h′（x）＝<

0，得x>

1.

故h（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，

故h（x）＝0有且仅有2个不等实数根，且1个根小于1，1个根大于1.

∵g（x）＝（ex－e）f（x）有且仅有3个不同的零点x1，x2，x3，x1<

x3，

∴x1<

x2＝1<

x3，x1，x3为h（x）＝－a＝0的2个不等实数根，（12分）

∴x1＝aex1，x3＝aex3，两式相减，得x3－x1＝a（ex3－ex1），∴a＝，

两式相加，得x1＋x3＝a（ex1＋ex3）＝（ex1＋ex3）＝（x3－x1）.

设x3－x1＝t，由x1<

x3且x3－x1≤1，得0<

t≤1，x1＋x3＝.

设φ（t）＝，t∈（0，1]，（14分）

则φ′（t）＝.设p（t）＝e2t－2tet－1，t∈（0，