复变函数测试题及标准答案Word格式.docx

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８．设为复数，则方程的解是（　　）

（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　　（D）

９．满足不等式的所有点构成的集合是（　　）

（A）有界区域　　（B）无界区域　　（C）有界闭区域　　（D）无界闭区域

10．方程所代表的曲线是（　　）

（A）中心为，半径为的圆周　（B）中心为，半径为２的圆周

（C）中心为，半径为的圆周　（D）中心为，半径为２的圆周

11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（　　）

（A）　　　　　　　　　　（B）

（C）　　　　（D）

12．设，则（　　）

（A）（B）（C）（D）

13．（　　）

（A）等于（B）等于（C）等于（D）不存在

14．函数在点处连续的充要条件是（　　）

（A）在处连续（B）在处连续

（C）和在处连续（D）在处连续

15．设且，则函数的最小值为（　　）

二、填空题

1．设，则

2．设，则

3．设，则

4．复数的指数表示式为

5．以方程的根的对应点为顶点的多边形的面积为

６．不等式所表示的区域是曲线的内部

７．方程所表示曲线的直角坐标方程为　　　　　　　　　　　

８．方程所表示的曲线是连续点和的线段的垂直平分线

９．对于映射，圆周的像曲线为　　　　　　　　　　　　　

10．　　　　　　　　　　　　

三、若复数满足，试求的取值范围．

四、设，在复数集中解方程.

五、设复数，试证是实数的充要条件为或.

六、对于映射，求出圆周的像.

七、试证１.的充要条件为；

２.的充要条件为

.

八、若，则存在，使得当时有.

九、设，试证.

十、设，试讨论下列函数的连续性：

1.

2.

第二章解析函数

一、选择题：

1．函数在点处是（）

（A）解析的（B）可导的

（C）不可导的（D）既不解析也不可导

2．函数在点可导是在点解析的（）

（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件（D）既非充分条件也非必要条件

3．下列命题中，正确的是（）

（A）设为实数，则

（B）若是函数的奇点，则在点不可导

（C）若在区域内满足柯西-黎曼方程，则在内解析

（D）若在区域内解析，则在内也解析

4．下列函数中，为解析函数的是（）

（A）（B）

（C）（D）

5．函数在处的导数（）

（A）等于0（B）等于1（C）等于（D）不存在

6．若函数在复平面内处处解析，那么实常

数（）

7．如果在单位圆内处处为零，且，那么在内（）

（A）（B）（C）（D）任意常数

8．设函数在区域内有定义，则下列命题中，正确的是

（A）若在内是一常数，则在内是一常数

（B）若在内是一常数，则在内是一常数

（C）若与在内解析，则在内是一常数

（D）若在内是一常数，则在内是一常数

9．设，则（）

10．的主值为（）

11．在复平面上（）

（A）无可导点（B）有可导点，但不解析

（C）有可导点，且在可导点集上解析（D）处处解析

12．设，则下列命题中，不正确的是（）

（A）在复平面上处处解析（B）以为周期

（C）（D）是无界的

13．设为任意实数，则（）

（A）无定义（B）等于1

（C）是复数，其实部等于1（D）是复数，其模等于1

14．下列数中，为实数的是（）

15．设是复数，则（）

（A）在复平面上处处解析（B）的模为

（C）一般是多值函数（D）的辐角为的辐角的倍

2．设在区域内是解析的，如果是实常数，那么在内是

3．导函数在区域内解析的充要条件为

4．设，则

5．若解析函数的实部，那么

6．函数仅在点处可导

7．设，则方程的所有根为

8．复数的模为

9．

10．方程的全部解为

三、设为的解析函数，若记，则．

四、试证下列函数在平面上解析，并分别求出其导数

1．

2．

五、设，求.

六、设试证在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.

七、已知，试确定解析函数.

八、设和为平面向量，将按逆时针方向旋转即得.如果为解析函数，则有（与分别表示沿,的方向导数）.

九、若函数在上半平面内解析，试证函数在下半平面内解析.

十、解方程.

第三章复变函数的积分

1．设为从原点沿至的弧段，则（）

2．设为不经过点与的正向简单闭曲线，则为（）

（A）（B）（C）（D）（A）（B）（C）都有可能

3．设为负向，正向，则（）

（A）（B）（C）（D）

4．设为正向圆周，则（）

（A）（B）（C）（D）

5．设为正向圆周，则（）

6．设，其中，则（）

7．设在单连通域内处处解析且不为零，为内任何一条简单闭曲线，则积分（）

（A）于（B）等于（C）等于（D）不能确定

8．设是从到的直线段，则积分（）

（A）（B）（C）（D）

9．设为正向圆周，则（）

10．设为正向圆周，则（）

11．设在区域内解析，为内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于．如果在上的值为2，那么对内任一点,（）

（A）等于0（B）等于1（C）等于2（D）不能确定

12．下列命题中，不正确的是（）

（A）积分的值与半径的大小无关

（B）,其中为连接到的线段

（C）若在区域内有，则在内存在且解析

（D）若在内解析，且沿任何圆周的积分等于零，则在处解析

13．设为任意实常数，那么由调和函数确定的解析函数是（）

（A）（B）（C）（D）

14．下列命题中，正确的是（）

（A）设在区域内均为的共轭调和函数，则必有

（B）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数

（C）若在区域内解析，则为内的调和函数

（D）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数

15．设在区域内为的共轭调和函数，则下列函数中为内解析函数的是（）

（A）（B）

1．设为沿原点到点的直线段，则

2．设为正向圆周，则

3．设,其中，则

4．设为正向圆周，则

5．设为负向圆周，则

6．解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的

7．设在单连通域内连续，且对于内任何一条简单闭曲线都有，那么在内

8．调和函数的共轭调和函数为

9．若函数为某一解析函数的虚部，则常数

10．设的共轭调和函数为，那么的共轭调和函数为

三、计算积分

1.,其中且;

2.．

四、设在单连通域内解析，且满足.试证

１．在内处处有；

２．对于内任意一条闭曲线，都有

五、设在圆域内解析，若，

则.

六、求积分，从而证明.

七、设在复平面上处处解析且有界，对于任意给定的两个复数，试求极限并由此推证（刘维尔Liouville定理）.

八、设在内解析，且，试计算积分并由此得出之值.

九、设是的解析函数，证明

十、若，试求解析函数.

第四章级数

1．设，则（）

2．下列级数中，条件收敛的级数为（）

（A）（B）

（C）（D）

3．下列级数中，绝对收敛的级数为（）

（B）（B）

4．若幂级数在处收敛，那么该级数在处的敛散性为（）

（A）绝对收敛（B）条件收敛

（C）发散（D）不能确定

5．设幂级数和的收敛半径分别为，则之间的关系是（）

（A）（B）

6．设，则幂级数的收敛半径（）

（A）（B）（C）（D）

7．幂级数的收敛半径（）

（A）（B）（C）（D）

8．幂级数在内的和函数为

（A）（B）

（D）（D）

9．设函数的泰勒展开式为，那么幂级数的收敛半径（）

10．级数的收敛域是（）

（A）（B）（C）（D）不存在的

11．函数在处的泰勒展开式为（）

（C）（D）

12．函数，在处的泰勒展开式为（）

（A）

（B）

（C）

（D）

13．设在圆环域内的洛朗展开式为，为内绕的任一条正向简单闭曲线，那么（）

（A）（B）（C）（D）

14．若，则双边幂级数的收敛域为（）

15．设函数在以原点为中心的圆环内的洛朗展开式有个，那么（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

1．若幂级数在处发散，那么该级数在处的收敛性为．

2．设幂级数与的收敛半径分别为和，那么与之间的关系是．

3．幂级数的收敛半径

4．设在区域内解析，为内的一点，为到的边界上各点的最短距离，那么当时，成立，其中．

5．函数在处的泰勒展开式为　　　．

6．设幂级数的收敛半径为，那么幂级数的收敛半径为．

7．双边幂级数的收敛域为．

8．函数在内洛朗展开式为．

9．设函数在原点的去心邻域内的洛朗展开式为，那么该洛朗级数收敛域的外半径．

10．函数在内的洛朗展开式为．

三、若函数在处的泰勒展开式为，则称为菲波那契（Fibonacci）数列，试确定满足的递推关系式，并明确给出的表达式．

四、试证明

五、设函数在圆域内解析，试证

1．.

2．。

六、设幂级数的和函数，并计算之值.

七、设，则对任意的，在内。

八、设在内解析的函数有泰勒展开式

试证当时.

九、将函数在内展开成洛朗级数.

十、试证在内下列展开式成立：

其中.

第五章留数

1．函数在内的奇点个数为（）

（A）1（B）2（C）3（D）4

2．设函数与分别以为本性奇点与级极点，则为函数

的（）

（A）可去奇点（B）本性奇点

（C）级极点（D）小于级的极点

3．设