课堂新坐标高考数学文科山东专版二轮复习限时集训1 三角函数问题含答案解析Word格式文档下载.docx

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2．（2016·

河南八市联考）已知函数f（x）＝sinx－cosx，且f′（x）＝f（x），则tan2x的值是（　　）

A．－　　　B．－　　　

C.　　　D.

D　[因为f′（x）＝cosx＋sinx＝sinx－cosx，所以tanx＝－3，所以tan2x＝＝＝，故选D.]

3．（2016·

全国甲卷）函数f（x）＝cos2x＋6cos的最大值为（　　）

A．4B．5

C．6D．7

B　[∵f（x）＝cos2x＋6cos

＝cos2x＋6sinx

＝1－2sin2x＋6sinx＝－22＋，

又sinx∈[－1,1]，∴当sinx＝1时，f（x）取得最大值5.故选B.]

4．（2016·

郑州模拟）函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）的部分图象如图16所示，则f（0）＋f的值为（　　）

图16

A．2－B．2＋

C．1－D．1＋

A　[由函数f（x）的图象得函数f（x）的最小正周期为T＝＝4＝π，解得ω＝2，则f（x）＝2sin（2x＋φ）．又因为函数图象经过点，所以f＝2sin＝－2，则2×

＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，解得φ＝－＋2kπ，k∈Z.又因为|φ|＜，所以φ＝－，则f（x）＝2sin，所以f（0）＋f＝2sin＋2sin＝2sin＋2sin＝－＋2，故选A.]

5．（2016·

石家庄二模）设α，β∈[0，π]，且满足sinαcosβ－cosαsinβ＝1，则sin（2α－β）＋sin（α－2β）的取值范围为（　　）

A．[－1,1]B．[－1，]

C．[－，1]D．[1，]

A　[由sinαcosβ－cosαsinβ＝sin（α－β）＝1，α，β∈[0，π]，得α－β＝，β＝α－∈[0，π]⇒α∈，且sin（2α－β）＋sin（α－2β）＝sin＋sin（π－α）＝cosα＋sinα＝sin，α∈⇒α＋∈⇒sin∈⇒sin∈[－1,1]，故选A.]

二、填空题

6．（2016·

合肥三模）已知tanα＝2，则sin2－sin（3π＋α）cos（2π－α）＝________.

73552011】

　[∵tanα＝2，

∴sin2－sin（3π＋α）cos（2π－α）

＝cos2α＋sinαcosα

＝

＝.]

7．（2016·

兰州模拟）已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0,0＜φ＜π）为奇函数，该函数的部分图象如图17所示，△EFG（点G在图象的最高点）是边长为2的等边三角形，则f

（1）＝________.

图17

－　[由函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0,0＜φ＜π）是奇函数可得φ＝，则f（x）＝Acos＝－Asinωx（A＞0，ω＞0）．又由△EFG是边长为2的等边三角形可得A＝，最小正周期T＝4＝，ω＝，则f（x）＝－sinx，f

（1）＝－.]

8．（2015·

天津高考）已知函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω>

0），x∈R.若函数f（x）在区间（－ω，ω）内单调递增，且函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．

　[f（x）＝sinωx＋cosωx＝sin，

因为f（x）在区间（－ω，ω）内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，

所以f（ω）必为一个周期上的最大值，所以有ω·

ω＋＝2kπ＋，k∈Z，

所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.

又ω－（－ω）≤，即ω2≤，所以ω2＝，

所以ω＝.]

三、解答题

9．（2016·

临沂高三模拟）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）满足下列条件：

①周期T＝π；

②图象向左平移个单位长度后关于y轴对称；

③f（0）＝1.

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）设α，β∈，f＝－，f＝，求cos（2α－2β）的值．

[解]　

（1）f（x）的周期T＝π，∴ω＝2.1分

f（x）的图象向左平移个单位长度，变为g（x）＝Asin.2分

由题意，g（x）关于y轴对称，

∴2×

＋φ＝＋kπ，k∈Z.3分

又|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝Asin.4分

∵f（0）＝1，∴Asin＝1，∴A＝2.5分

因此，f（x）＝2sin.6分

（2）由f＝－，f＝，

得2sin＝－，

2sin＝.7分

∵α，β∈，∴2α，2β∈，∴cos2α＝，cos2β＝，sin2α＝，sin2β＝，11分

cos（2α－2β）＝cos2αcos2β＋sin2αsin2β

＝×

＋×

＝.12分

10．已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图18所示，P是图象的最高点，Q为图象与x轴的交点，O为坐标原点．若OQ＝4，OP＝，PQ＝.

图18

（1）求函数y＝f（x）的解析式；

（2）将函数y＝f（x）的图象向右平移2个单位后得到函数y＝g（x）的图象，当x∈（－1,2）时，求函数h（x）＝f（x）·

g（x）的值域．

[解]　

（1）由条件知cos∠POQ＝＝.2分

又cos∠POQ＝，∴xP＝1，∴yP＝2，∴P（1,2）.3分

由此可得振幅A＝2，周期T＝4×

（4－1）＝12，又＝12，则ω＝.4分

将点P（1,2）代入f（x）＝2sin，

得sin＝1.

∵0＜φ＜，∴φ＝，于是f（x）＝2sin.6分

（2）由题意可得g（x）＝2sin＝2sinx.7分

∴h（x）＝f（x）·

g（x）＝4sin·

sinx

＝2sin2x＋2sinx·

cosx

＝1－cosx＋sinx＝1＋2sin.9分

当x∈（－1,2）时，x－∈，10分

∴sin∈（－1,1），

即1＋2sin∈（－1,3），于是函数h（x）的值域为（－1,3）.12分

[B组　名校冲刺]

1．已知函数y＝loga（x－1）＋3（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P，则sin2α－sin2α的值为（　　）

A.　　　B．－　　　C.　　　D．－

D　[根据已知可得点P的坐标为（2,3），根据三角函数定义，可得sinα＝，cosα＝，所以sin2α－sin2α＝sin2α－2sinαcosα＝2－2×

×

＝－.]

东北三省四市第二次联考）将函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向右平移个单位，所得到的图象关于y轴对称，则函数f（x）在上的最小值为（　　）

A.B.

C．－D．－

D　[f（x）＝sin（2x＋φ）向右平移个单位得到函数g（x）＝sin＝sin，此函数图象关于y轴对称，即函数g（x）为偶函数，则－＋φ＝＋kπ，k∈Z.又|φ|＜，所以φ＝－，所以f（x）＝sin.因为0≤x≤，所以－≤2x－≤，所以f（x）的最小值为sin＝－，故选D.]

湖北七市四月联考）已知函数f（x）＝asinx－bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）在x＝处取得最大值，则函数y＝f是（　　）

A．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称

B．偶函数且它的图象关于点对称

C．奇函数且它的图象关于点对称

D．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称

B　[由题意可知f′＝0，

即acos＋bsin＝0，∴a＋b＝0，

∴f（x）＝a（sinx＋cosx）＝asin.

∴f＝asin＝acosx.

易知f是偶函数且图象关于点对称，故选B.]

陕西省第二次联考）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0,0＜φ＜π）的部分图象如图19所示，且f（α）＝1，α∈，则cos＝（　　）

图19

A．±

B.

C．－D.

C　[由图易得A＝3，函数f（x）的最小正周期T＝＝4×

，解得ω＝2，所以f（x）＝3sin（2x＋φ）．又因为点在函数图象上，所以f＝3sin＝－3，解得2×

＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z.又因为0＜φ＜π，所以φ＝，则f（x）＝3sin，当α∈时，2α＋∈.又因为f（α）＝3sin＝1，所以sin＝＞0，所以2α＋∈，则cos＝－＝－，故选C.]

5．已知函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω＞0）在上单调递减，则ω的取值范围是________．

73552012】

　[f（x）＝sinωx＋cosωx＝sin，令2kπ＋≤ωx＋≤2kπ＋（k∈Z），解得＋≤x≤＋（k∈Z）．

由题意，函数f（x）在上单调递减，故为函数单调递减区间的一个子区间，故有

解得4k＋≤ω≤2k＋（k∈Z）．

由4k＋＜2k＋，解得k＜.

由ω＞0，可知k≥0，

因为k∈Z，所以k＝0，故ω的取值范围为.]

6．设函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ是常数，A>

0，ω>

0）．若f（x）在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f（x）的最小正周期为________．

π　[∵f（x）在上具有单调性，

∴≥－，∴T≥.

∵f＝f，

∴f（x）的一条对称轴为x＝＝.

又∵f＝－f，

∴f（x）的一个对称中心的横坐标为＝，

∴T＝－＝，∴T＝π.]

7．（2015·

湖北高考）某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx＋φ

π

2π

x

Asin（ωx＋φ）

5

－5

（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；

（2）将y＝f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y＝g（x）的图象．若y＝g（x）图象的一个对称中心为，求θ的最小值．

[解]　

（1）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：

4分

且函数解析式为f（x）＝5sin.6分

（2）由

（1）知f（x）＝5sin，

则g（x）＝5sin.7分

因为函数y＝sinx图象的对称中心为（kπ，0），k∈Z，

令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.8分

由于函数y＝g（x）的图象关于点成中心对称，

所以令＋－θ＝，

解得θ＝－，k∈Z.10分

由θ＞0可知，当k＝1时，θ取得最小值.12分

8．（2016·

潍坊模拟）已知函数f（x）＝2sinxcosx－sin2x＋cos2x＋，x∈R.

（1）求函数f（x）在上的最值；

（2）若将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g（x）的图象．已知g（α）＝－，α∈，求cos的值．

[解]　

（1）f