江西省吉安一中届高三下学期第一次模拟考试 数学理 Word版含答案Word文档下载推荐.docx

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C.直线AD与OB所成的角是45°

D.二面角D-OB-A为45°

6.某同学在电脑上进行数学测试，共10道题，答完第n题（n＝1，2，3，…，10）电脑都会自动显示前n题的正确率，则下列关系不可能成立的是（）

A.

B.且

C.

D.

7.已知，对以下不等式

①②③④⑤，

其中成立的是（）

A.①②⑤B.②③④C.②③⑤D.③④⑤

8.已知函数（a、b为常数，）在处取得最小值，则函数是（）

A.奇函数且它的图象关于点对称

B.奇函数且它的图象关于点对称

C.偶函数且它的图象关于点对称

D.偶函数且它的图象关于点对称

9.过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.

10.如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动（说明：

“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动。

沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续。

类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动。

向右为顺时针，向左为逆时针）。

设顶点p（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则关于f（x）的最小正周期T及y＝f（x）在其两个相邻零点间的图像与x轴所围区域的面积S的正确结论是（）

A.B.

C.D.

二、填空题（每小题5分，共25分）

11.方程的根，则k＝________。

12.在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM＝2，则的最小值是_________。

13.向平面区域内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为_________。

14.已知数组（）是1，2，3，4，5五个数的一个排列，如数组（1，4，3，5，2）是符合题意的一个排列。

规定每一个排列只对应一个数组，且在每个数组中有且仅有一个i使，则所有不同的数组中的各数字之和为_________。

15.①（极坐标与参数方程选讲选做题）已知点，参数，点Q在曲线C：

上，则点P与点Q之间距离的最小值为________。

②（不等式选讲选做题）若不等式，对任意的恒成立，则实数a的取值范围是___________。

三、解答题

16.（12分）已知，其中，若函数，且的对称中心到对称轴的最近距离不小于。

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）在△ABC中，分别是角A，B，C的对边，且，当取最大值时，，求△ABC的面积。

17.（12分）QQ先生的鱼缸中有7条鱼，其中6条青鱼和1条黑鱼，计划从当天开始，每天中午从该鱼缸中抓出1条鱼（每条鱼被抓到的概率相同）并吃掉。

若黑鱼未被抓出，则它每晚要吃掉1条青鱼（规定青鱼不吃鱼）。

（1）求这7条鱼中至少有5条被QQ先生吃掉的概率；

（2）以表示这7条鱼中被QQ先生吃掉的鱼的条数，求。

18.（12分）已知长方体中，棱，棱，连接，过B点作的垂线交于E，交于F。

（1）求证：

⊥平面EBD；

（2）求点A到平面的距离；

（3）求平面与直线DE所成角的正弦值。

19.（12分）数列的通项，其前n项和为。

（1）求；

（2），求数列的前n项和。

20.（13分）设椭圆的左右焦点分别为，下顶点为A，线段OA的中点为B（O为原点），如图，若抛物线与y轴的交点为B，且经过点。

（1）求椭圆的方程；

（2）设，N为抛物线C2上的一动点，过点N作抛物线的切线交椭圆与P，Q两点，求△MPQ面积的最大值。

21.（14分）已知函数，当时，函数取得极大值。

（Ⅰ）求实数m的值；

（Ⅱ）已知结论：

若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得。

试用这个结论证明：

若，函数，则对任意，都有；

（Ⅲ）已知正数，满足，求证：

当时，对任意大于－1，且互不相等的实数，都有

16.解：

（Ⅰ）

（2分）

函数的周期，由题意知，即，

又。

故的取值范围是（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知的最大值为1，。

，

。

而。

（9分）

由余弦定理可知：

，又。

联立解得：

（12分）

17.解：

（1）QQ先生能吃到的鱼的条数可取4，5，6，7，最坏的情况是只能吃到4条鱼：

前3天各吃掉1条青鱼，其余3条青鱼被黑鱼吃掉，第4天QQ先生吃掉黑鱼，其概率为

故QQ先生至少吃掉5条鱼的概率是。

（2）与

（1）相仿地可得，（6分）

故，故所求期望值为5。

（12分）

18.解：

（1）证：

以A为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，那么A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、D（0，1，0）、（0，0，2）、（1，0，2）、（1，1，2）、（0，1，2），，，

设，则：

＝0，，，

，又平面EBD。

（4分）

（2）连接到平面的距离，即三棱锥的高，设为h，

，由

得：

，∴点A到平面的距离是。

（8分）

（3）连接DF，⊥⊥⊥平面是DE在平面上的射影，∠EDF是DE与平面所成的角，设，那么

①∥②

由①、②得，

在Rt△FDE中，。

∴sin∠EDF＝，因此，DE与平面所成的角的正弦值是。

（几何方法略）（12分）

19.解：

（1）由于，故

故（6分）

（2），

，两式相减得

故。

20.（Ⅰ）解：

由题意可知B（0，－1），则A（0，－2），故。

令得即，则，故。

所以，于是椭圆C1的方程为：

（Ⅱ）设，由知直线PQ的方程为：

即。

代入椭圆方程整理得：

，

故

＝

设点M到直线PQ的距离为d，则

所以，△MPQ的面积

当时取到“＝”，经检验此时，满足题意。

综上所知，△MPQ的面积的最大值为。

21.解：

（Ⅰ）。

由，得，此时。

当时，，函数在区间（－1，0）上单调递增；

当时，，函数在区间上单调递减。

∴函数在处取得极大值，故

（Ⅱ）令，

则。

函数在上可导，∴存在，使得。

又

当时，单调递增，；

当时，，单调递减，；

故对任意，都有

（Ⅲ）用数学归纳法证明。

①当时，，且，

由（Ⅱ）得，即

∴当时，结论成立

②假设当时结论成立，即当时，

当时，设正数，满足，令，

则，且。

∴当时，结论也成立。

综上由①②，对任意，，结论恒成立。