第九章四边形知识树 知识点 典型例题 巩固练习文档格式.docx

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（二）、平行四边形

1、平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。

2、平行四边形的性质

（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。

（2）平行四边形的对边平行且相等。

夹在两条平行线间的平行线段相等。

（3）平行四边形的对角线互相平分。

（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。

3、平行四边形的判定

（1）定义：

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

（2）定理1：

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

（3）定理2：

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

（4）定理3：

对角线互相平分的四边形是平行四边形

（5）定理4：

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4、两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

5、平行四边形的面积

S平行四边形=底边长×

高=ah

（三）、矩形

1、矩形的概念

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质

（1）具有平行四边形的一切性质

（2）矩形的四个角都是直角

（3）矩形的对角线相等

（4）矩形是轴对称图形

3、矩形的判定

有一个角是直角的平行四边形是矩形

有三个角是直角的四边形是矩形

对角线相等的平行四边形是矩形

4、矩形的面积

S矩形=长×

宽=ab

（四）、菱形

1、菱形的概念

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质

（2）菱形的四条边相等

（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

（4）菱形是轴对称图形

3、菱形的判定

有一组邻边相等的平行四边形是菱形

四边都相等的四边形是菱形

对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4、菱形的面积

S菱形=底边长×

高=两条对角线乘积的一半

（五）、正方形

1、正方形的概念

有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2、正方形的性质

（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质

（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴

（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形

（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。

3、正方形的判定

（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：

先证它是矩形，再证有一组邻边相等。

先证它是菱形，再证有一个角是直角。

（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：

先证明它是平行四边形；

再证明它是菱形（或矩形）；

最后证明它是矩形（或菱形）

4、正方形的面积

设正方形边长为a，对角线长为b

S正方形=

（六）、梯形

1、梯形的相关概念

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。

梯形的两底的距离叫做梯形的高。

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分类如下：

一般梯形

梯形直角梯形

特殊梯形

等腰梯形

2、梯形的判定

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。

3、等腰梯形的性质

（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。

（3）等腰梯形的对角线相等。

（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

4、等腰梯形的判定

两腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。

5、梯形的面积

（1）如图，

（2）梯形中有关图形的面积：

①；

②；

③

6、梯形中位线定理

梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半

二、典型例题

【例1】如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则图中全等三角形有（　）

　　A．2对　　B．3对　　C．4对　　D．5对

【分析】由平行四边形的对边平行、对角线互相平分，可得全等三角形有：

△ABD和△CDE，△ADC和△CBA，△AOD和△BOC、△AOB和△COD．

【答案】C

【例2】如图，O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：

①S△ADE=S△EOD；

②四边形BFDE也是菱形；

③四边形ABCD的面积为EF×

BD；

④∠ADE=∠EDO；

⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（　　）

A.5个B.4个C.3个D.2个

考点：

菱形的判定与性质．

分析：

①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．

②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．

③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．

④不正确，根据已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．

⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确．

解答：

解：

①正确

∵E、F分别是OA、OC的中点．

∴AE=OE．

∵S△ADE=×

AE×

OD=×

OE×

OD=S△EOD

∴S△ADE=S△EOD．

②正确

∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．

∴EF⊥OD，OE=OF．

∵OD=OD．

∴DE=DF．

同理：

BE=BF

∴四边形BFDE是菱形．

③正确

∵菱形ABCD的面积=AC×

BD．

∴EF=AC．

∴菱形ABCD的面积=EF×

④不正确

由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．

⑤正确

∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD．

∴△DEO≌△DFO．

∴△DEF是轴对称图形．

∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选B．

点评：

此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．

【例3】如图，□ABCD中，∠B、∠C的平分线交于点O，BO和CD的延长线交于E，

　　求证：

BO=OE．

【分析】证线段相等，可证线段所在三角形全等．可证△COE≌△COB．已知OC为公共边，∠OCE=∠OCB，又易证∠E=∠EBC．问题得证．

【证明】在□ABCD中，∵AB//CD，

　　∴，

　　又∵（角平分线定义）．

　　又∵，

　　∴△≌△

　　∴．

　　说明：

证线段相等通常有两种方法：

（1）在同一三角形中证三角形等腰；

（2）不在同一三角形则证两三角形全等．本题也可根据等腰三角形“三线合一”性质证明结论．

【例4】如图，在ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥DC于F，∠ADC=60°

，BE=2，CF=1，

求△DEC的面积．

【解】在中，，、．

　　在Rt△ABE中，，．

　　∴，．

　　在△中，．

　　故．

【例5】已知：

如图，D是等腰△ABC的底边BC上一点，DE//AC，DF//AB．

求证：

DE+DF=AB．

【分析】由于，，从而可以利用平行四边形的定义和性质，等腰三角形的判定和性质来证．

【解】∵，

∴四边形是平行四边形．

　　∵，∴．

证明一条线段等于另外两条线段的和常采用的方法是：

把三条线段中较长的线段分为两段，证明这两段分别等于另两条线段．

【例6】如图，已知：

中，、相交于点，于，于，求证：

．

【分析】

　【解】因为四边形是平行四边形，

　　所以，．

　　又因为、交于点，

　　所以．

　　又因为，，

　　于是△≌△．

　　从而．

　【例7】已知：

如图，AB//DC，AC、BD交于O，且AC=BD。

　　求证：

OD=OC.

　　证明：

过B作交DC延长线于E，则。

　　∵，，

　　∴

　　∵，∴

　　∴∴

本题条件中有“夹在两条平行线之间的相等且相交的线段”，由于位置交错而一时用不上，为此通过作平行线，由“夹在两条平行线间的平行线段相等”将线段AC平移到BE，得到等腰△BDE，使问题得解．

【例8】如图6，E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE=CF.

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论.

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠A=∠C.

∵AE=CF，∴△ABE≌△CDF.

（2）解读：

四边形MFNE是平行四边形.

∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB=∠CFD，BE=DF.

又∵M、N分别是BE、DF的中点，∴ME=FN.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB=∠FBE.

∴∠CFD=∠FBE.∴EB∥DF，即ME∥FN.

∴四边形MFNE是平行四边形.

评注：

本题是一道猜想型问题.先猜想结论，再证明其结论.

【例9】

（1）探究填空：

如果在▱ABCD中AM=AB，CN=CD，那么四边形AMCN是___；

①当AM=AB，CN=CD时，四边形AMCN是___；

②如果AM=AB，CN=CD（m＞1）时，四边形AMCN是___。

（2）你能得出一个一般性的结论吧？

如果能请你写出一般性的结论，并证明

（1）根据平行四边形的性质（平行四边形的对边平行且相等）推知AB=CD、四边形AMCN的对边AM∥CN；

然后根据已知条件知四边形AMCN的对边AM=CN；

最后由平行四边形的判定定理（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）证得四边形AMCN是平行四边形；

（2）根据

（1）的证明过程知：

在同一平面内，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

（1）∵在▱ABCD中，ABCD，且AB平行于CD

∴在四边形AMCN中，AM∥CN；

又∵AM=AB，CN=CD，

∴A