高中数学第1章导数及其应用章末复习课学案苏教版选修222Word下载.docx

高中数学第1章导数及其应用章末复习课学案苏教版选修222Word下载.docx

《高中数学第1章导数及其应用章末复习课学案苏教版选修222Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第1章导数及其应用章末复习课学案苏教版选修222Word下载.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

2．[f（x）·

g（x）]′＝．

3．[]′＝（g（x）≠0）．

知识点四　复合函数的求导法则

1．复合函数记法：

y＝f（g（x））．

2．中间变量代换：

y＝f（u），u＝g（x）．

3．逐层求导法则：

y′x＝y′u·

u′x.

知识点五　函数的单调性、极值与导数

1．函数的单调性与导数

在某个区间（a，b）内，如果________，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递增；

如果________，那么函数y＝f（x）在这个区间内单调递减．

2．函数的极值与导数

（1）极大值：

在点x＝a附近，满足f（a）≥f（x），当x<

a时，________，当x>

a时，________，则点a叫做函数的极大值点，f（a）叫做函数的极大值；

（2）极小值：

在点x＝a附近，满足f（a）≤f（x），当x<

a时，________，则点a叫做函数的极小值点，f（a）叫做函数的极小值．

3．求函数f（x）在闭区间[a，b]上的最值的步骤

（1）求函数y＝f（x）在（a，b）内的极值；

（2）将函数y＝f（x）的______与______处的函数值f（a），f（b）比较，其中最大的一个就是________，最小的一个就是______．

知识点六　微积分基本定理

如果f（x）是区间[a，b]上的连续函数，并且F′（x）＝f（x），那么ʃf（x）dx＝________.

知识点七　定积分的性质

1．ʃkf（x）dx＝（k为常数）．

2．ʃ[f1（x）±

f2（x）]dx＝.

3．ʃf（x）dx＝（其中a<

c<

b）.

类型一　导数的概念与几何意义

例1　

（1）若曲线f（x）＝kx＋lnx在点（1，k）处的切线平行于x轴，则k＝________.

（2）设函数f（x）＝x3＋ax2－9x－1（a>

0），直线l是曲线y＝f（x）的一条切线，当l的斜率最小时，直线l与直线10x＋y＝6平行．

①求a的值；

②求f（x）在x＝3处的切线方程．

反思与感悟　利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出．常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；

另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q（x1，y1），由＝f′（x1）和y1＝f（x1）求出x1，y1的值，转化为第一种类型．

跟踪训练1　直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点（2,3），则b＝________.

类型二　函数的单调性、极值、最值问题

例2　设a为实数，函数f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R.

（1）求f（x）的单调区间与极值；

（2）求证：

当a>

ln2－1且x>

0时，ex>

x2－2ax＋1.

反思与感悟　本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和证明不等式，考查运算能力、分析问题、解决问题的能力．

跟踪训练2　已知函数f（x）＝（4x2＋4ax＋a2），其中a<

0.

（1）当a＝－4时，求f（x）的单调递增区间；

（2）若f（x）在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．

类型三　生活中的优化问题

例3　某公司为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t（百万元），可增加销售额约为－t2＋5t（百万元）（0≤t≤3）．

（1）若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？

（2）现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x（百万元），可增加的销售额为－x3＋x2＋3x（百万元）．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．

反思与感悟　解决优化问题的步骤：

（1）要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．

（2）要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

（3）验证数学问题的解是否满足实际意义．

跟踪训练3　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．

（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；

（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．

类型四　定积分与微积分基本定理

例4　

（1）设f（x）＝则ʃf（x）dx＝________.

（2）如图，是由直线y＝x－2，曲线y2＝x所围成的图形，试求其面积S.

反思与感悟　由定积分求曲边梯形面积的方法步骤：

（1）画出函数的图象，明确平面图形的形状．

（2）通过解方程组，求出曲线交点的坐标．

（3）确定积分区间与被积函数，转化为定积分计算．

（4）对于复杂的平面图形，常常通过“割补法”来求各部分的面积之和．

跟踪训练4　求由抛物线y＝x2－1，直线x＝2，y＝0所围成的图形的面积．

1．已知函数f（x）＝ax2－2ln（2－x）（a∈R），设曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线为l，若l与圆C：

x2＋y2＝相切，则a＝________.

2．体积为16π的圆柱，它的半径为________时，圆柱的表面积最小．

3．设两抛物线y＝－x2＋2x，y＝x2所围成的图形为M，求M的面积．

4．已知函数f（x）＝x－alnx（a∈R）．

（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点A（1，f

（1））处的切线方程；

（2）求函数f（x）的极值．

1．利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y－y0＝f′（x0）（x－x0）．明确“过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程”与“在点P（x0，y0）处的曲线y＝f（x）的切线方程”的异同点．

2．借助导数研究函数的单调性，经常同三角函数，一元二次不等式结合，融分类讨论、数形结合于一体．

3．利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题．

4．不规则图形的面积可用定积分求，关键是确定积分上、下限及被积函数，积分的上、下限一般是两曲线交点的横坐标．

答案精析

问题导学

知识点一

2．y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）

知识点二

2．αxα－1　3.axlna　4.ex　6.　7.cosx

8．－sinx

知识点三

1．f′（x）±

g′（x）

2．f′（x）g（x）＋f（x）g′（x）　3.

知识点五

1．f′（x）>

0　f′（x）<

2．

（1）f′（x）>

（2）f′（x）<

0　f′（x）>

3．

（2）极值　端点　最大值　最小值

知识点六

F（b）－F（a）

知识点七

1．kʃf（x）dx　2.ʃf2（x）dx

3．ʃf（x）dx＋ʃf（x）dx

题型探究

例1　

（1）－1

解析　f′

（1）＝k＋1＝0，k＝－1.

（2）解　①f′（x）＝x2＋2ax－9＝（x＋a）2－a2－9，

f′（x）min＝－a2－9，

由题意知－a2－9＝－10，

∴a＝1或－1（舍去）．

故a＝1.

②由①得a＝1.

∴f′（x）＝x2＋2x－9，

则k＝f′（3）＝6，f（3）＝－10.

∴f（x）在x＝3处的切线方程为y＋10＝6（x－3），

即6x－y－28＝0.

跟踪训练1　－15

解析　令f（x）＝x3＋ax＋1，

由题意知f

（2）＝3，则a＝－3.

∴f（x）＝x3－3x＋1.

∴f′

（2）＝3×

22－3＝9＝k，

又点（2,3）在直线y＝9x＋b上，

∴b＝3－9×

2＝－15.

例2　

（1）解　由f（x）＝ex－2x＋2a，x∈R知f′（x）＝ex－2，x∈R.

令f′（x）＝0，得x＝ln2.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，ln2）

ln2

（ln2，＋∞）

f′（x）

－

＋

f（x）

极小值

故f（x）的单调递减区间是（－∞，ln2），单调递增区间是（ln2，＋∞），f（x）在x＝ln2处取得极小值，极小值为f（ln2）＝eln2－2ln2＋2a＝2（1－ln2＋a）．

（2）证明　设g（x）＝ex－x2＋2ax－1，x∈R，

于是g′（x）＝ex－2x＋2a，x∈R.

由

（1）知当a>

ln2－1时，g′（x）取最小值为g′（ln2）＝2（1－ln2＋a）>

于是对任意x∈R，都有g′（x）>

0，

所以g（x）在R内单调递增．

于是当a>

ln2－1时，对任意x∈（0，＋∞），都有g（x）>

g（0）．

而g（0）＝0，从而对任意x∈（0，＋∞），都有g（x）>

即ex－x2＋2ax－1>

故ex>

跟踪训练2　解　

（1）当a＝－4时，由f′（x）＝＝0，

得x＝或x＝2.

由f′（x）>

0，得x∈（0，）或x∈（2，＋∞），

故函数f（x）的单调递增区间为（0，）和（2，＋∞）．

（2）因为f′（x）＝，a<

由f′（x）＝0得x＝－或x＝－.

当x∈（0，－）时，f（x）单调递增；

当x∈（－，－）时，f（x）单调递减；

当x∈（－，＋∞）时，f（x）单调递增，

易知f（x）＝（2x＋a）2≥0，

且f（－）＝0.

①当－≤1，即－2≤a<

0时，

f（x）在[1,4]上的最小值为f

（1），

由f

（1）＝4＋4a＋a2＝8，

得a＝±

2－2，均不符合题意．

②当1<

－≤4，即－8≤a<

－2时，f（x）在[1,4]上的最小值为f（－）＝0，不符合题意．

③当－>

4，即a<

－8时，f（x）在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4上取得，而f

（1）≠8，

由f（4）＝2（64＋16a＋a2）＝8，得a＝－10或a＝－6（舍去），

当a＝－10时，f（x）在（1,4）上单调递减，

f（x）在[1,4]上的最小值为f（4）＝8，符合题意．

综上有a＝－10.

例3　解　

（1）设投入t（百万元）的广告费后增加的收益为f（t）（百万元），

则有f（t）＝（－t2＋5t）－t＝－t2＋4t＝－（t－2）2＋4（0≤t≤3），

所以当t＝2时，f（t）取得最大值4，

即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大．

（2）设用于技术改造的资金为x（百万元），则用于广告促