市级联考安徽省定远重点中学届高三上学期期中考试数学理试题Word文件下载.docx
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A.当时,
B.当时,
C.当时,
D.当时,
9.已知,,,则a,b,c的大小关系为()
A.B.
C.D.
10.设函数f(x)=F(x)=f(x)+x,x∈R.F(x)的值域为( )
A.(-∞,1]B.[2,+∞)
C.(-∞,1]∪[2,+∞)D.(-∞,1)∪(2,+∞)
11.在中,角所对边长分别为,若,则的最小值为()
12.若函数在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,则实数a的取值范围是( )
A.a≤2B.5≤a≤7C.4≤a≤6D.a≤5或a≥7
二、填空题
13.如图,已知△ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,且,则实数m=________.
14.设在约束条件下,目标函数的最大值为4,则的值为______
15.已知在时有极值0,则的值为____.
16.设是等比数列,公比,为的前n项和,记'
,设为数列的最大项,则________.
三、解答题
17.在△ABC中,p:
cosB>
0;
q:
函数y=sin为减函数.
(1)如果p为假命题,求函数y=sin+B的值域;
(2)若“p且q”为真命题,求B的取值范围.
18.已知各项均不相等的等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=15,且a3+1为a1+1和a7+1的等比中项.
(1)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn;
(2)设Tn为数列{}的前n项和,问是否存在常数m,使Tn=m[+],若存在,求m的值;
若不存在,说明理由.
19.的三个内角对应的三条边长分别是,且满足.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,,求和的值.
20.已知函数f(x)=mx+3,g(x)=x2+2x+m.
(1)求证:
函数f(x)-g(x)必有零点;
(2)设函数G(x)=f(x)-g(x)-1,若|G(x)|在[-1,0]上是减函数,求实数m的取值范围.
21.已知函数.
(1)当时,求函数的值域;
(2)如果对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
22.设.
(1)若在存在单调增区间,求的取值范围;
(2)若在上最小值为,求在上的最大值.
参考答案
1.C
【分析】
首先确定集合M和集合N,然后求解其交集即可.
【详解】
求解分式不等式≥0可得,
求解函数y=3x2+1的值域可得,
结合交集的定义可知M∩N={x|x>
1}.
本题选择C选项.
【点睛】
本题主要考查集合的表示方法,交集的定义与运算等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2.A
【解析】
∵“α=0”可以得到“sinα<cosα”,
当“sinα<cosα”时,不一定得到“α=0”,如α=等,
∴“α=0”是“sinα<cosα”的充分不必要条件,
故选A.
3.C
解:
因为向量,,若
,
解得为选C
4.A
设公差为d则
解得
,故选A.
5.D
取x=-π,0,π这三个值,可得y总是1,故排除A,C;
当时,y=sinx是增函数,y=ex也是增函数,故y=esinx也是增函数.
故选:
D.
6.D
选D.
7.D
函数的图象向左平移个单位,得到函数,然后利用余弦函数的性质一一验证.
函数的图象向左平移个单位,得到函数,
因为,所以是偶函数,
因为,所以的周期是,
因为,所以的图象关于点对称.
D
本题主要考查三角函数的图象和性质及图象变换,问题比较综合,考虑要全面,属于中档题.
8.B
令,可得.
设
根据题意与直线只有两个交点,
不妨设,结合图形可知,当时如右图,
与左支双曲线相切,与右支双曲线有一个交点,
根据对称性可得,即,此时,
同理可得,当时如左图,,
B.
本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合,考查数形结合思想、分类讨论思想,函数与方程思想等,难度较大,不易入手,具有很强的区分度.
9.A
试题分析:
因为,所以由指数函数的性质可得,,因此,故选A.
考点:
1、指数函数的性质;
2、对数函数的性质及多个数比较大小问题.
【方法点睛】
本题主要考查指数函数的性质、对数函数的性质以及多个数比较大小问题,属于中档题.多个数比较大小问题能综合考查多个函数的性质以及不等式的性质,所以也是常常是命题的热点,对于这类问题,解答步骤如下:
(1)分组,先根据函数的性质将所给数据以为界分组;
(2)比较,每一组内数据根据不同函数的单调性比较大小;
(3)整理,将各个数按顺序排列.
10.C
首先写出函数的解析式,然后求解其值域即可.
由题意可得:
当时,,当且仅当时等号成立,此时函数的值域为;
当时,,,则函数在区间上单调递增,
由于,当时,,此时函数的值域为,
综上可得,函数的值域为.
本题主要考查分段函数值域的求解,分类讨论的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
11.C
,由余弦定理得,当且仅当时取“”,的最小值为,选C.
12.B
因为,,,而函数在区间(1,4)内为减函数,在区间(6,+∞)内为增函数,
所以,,即,故选B.
应用导数研究函数的单调性
13.1
首先做出辅助线,然后结合平面向量的运算法则确定实数m的值即可.
如图:
作直径BD,连接DA、DC,HC,
由图得,
∵H为△ABC的垂心,∴CH⊥AB,AH⊥BC,
∵BD为直径,∴DA⊥AB,DC⊥BC
∴CH∥AD,AH∥CD,故四边形AHCD是平行四边形,∴,
又∵,
∴,对比系数得到m=1.
故答案为1.
本题主要考查圆的性质,平面向量的定义与运算法则等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
14.3
根据目标函数的几何意义,确定使目标函数取得最大值的点,进而代入目标函数得到关于的方程.
线约束条件所表示的平面区域,如图所示的,
因为,当直线过点时,它在轴上截距取得最大值,即取得最大值,所以,解得:
.
15.11
由题知,
且,
所以,
得或,
①当时,,此时,
所以函数单调递增无极值,
舍去.
②当时,,此时,
是函数的极值点,符合题意,
∴.
16.4
解
17.
(1);
(2).
(1)由题意首先求得B的取值范围,然后结合三角函数的性质求解函数的值域即可;
(2)由题意可知,p,q均为真命题,据此求解B的取值范围即可.
(1)由p为假命题,则cosB≤0,
∵0<
B<
π,∴≤B<
π,∴π≤B+<
π,
∴y=sin的值域为.
(2)∵“p且q”为真命题,∴p真q真.
由p:
0,解得0<
由q:
函数y=sin为减函数,
∴<
B+<
本题主要考查三角函数的性质,由命题的真假求解参数取值范围的方法等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18.
(1)an=2n+1Sn=n(n+2)
(2)数m=,见解析
【解析】解:
(1)设数列{an}的公差为d,由已知,可得
S3=a1+a2+a3=15,得a2=a1+d=5,
由a3+1为a1+1和a7+1的等比中项,
可得(6+d)2=(6-d)×
(6+5d),化简得d2-2d=0,
解得d=0(不合题意,舍去)或d=2,
当d=2时,a1=3,其通项公式为an=3+(n-1)×
2=2n+1,前n项和Sn=n(n+2).
(2)由
(1)知数列{an}的前n项和为Sn=n(n+2),
则有==(-),
Tn=(1-+-+-+…+-+-)=(1+--)=[+].
故存在常数m=,使得Tn=m[+]成立.
19.
(1);
(2),.
(Ⅰ)根据已知条件,由正弦定理求出,再求出C;
(Ⅱ)由的值求出的值,再求出,由正弦定理求出
试题解析:
(Ⅰ)因为由正弦定理得:
由
所以,;
(Ⅱ)由,则,
由,
20.
(1)略
(2)
解答:
(1)证明;
=0有解,
则恒成立,
所以方程=0有解
函数必有零点(5分)
(2)=
①令0则
当,时恒成立
所以,=,
在上是减函数,则(3分)
②,时=
因为在上是减函数
所以方程=0的两根均大于0得到m>
6(2分)
或者一根大于0而另一根小于0且,得到m.(2分)
综合①②得到的取值范围是(2分)
21.
(1);
(2).
(1)利用配方法化简函数,根据函数的定义域,换元得到t=∈[0,2],由二次函数的性质,即可求出函数的值域;
(2)先利用对数运算化简不等式,换元,再通过分离参数法,转化为最值问题,利用基本不等式求出最值,即可求出实数的取值范围.
(1)h(x)=(4-2)·
=-2(-1)2+2,
因为x∈[1,4],所以t=∈[0,2],,
故函数h(x)的值域为[0,2].
(2)由f(x2)·
f()>k·
g(x),
得(3-4)(3-)>k·
令,因为x∈[1,4],所以t=∈[0,2],
所以(3-4t)(3-t)>k·
t对一切t∈[0,2]恒成立,
①当t=0时,k∈R;
②当t∈(0,2]时,恒成立,
即,
因为,当且仅当,即时取等号,
所以的最小值为-3.所以k<-3.
综上,实数k的取值范围为(-∞,-3).
本题主要考查含有对数式的二次函数的值域的求法,利用分离参数法解决不等式恒成立问题,以及利用基本不等式求最值.意在考查学生的转化与化归思想和数学运算能力.
22.
(1);
(1)求出,可得时的最大值,令可得结果;
(2)利用导数研究函数的单调性,利用单调性可得在[1,4]上的最小值为,解方程求得,进而可得结果.
(1)由
当
令
所以,当上存在单调递增区间.