两个重要极限练习题文档格式.docx

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的特点：

（1）它是“”型，即若形式地应用商求极限的法则，得到的结果是；

（2）在分式中同时出现三角函数和x的幂．

推广　　如果ϕ（x）=0,（a可以是有限数x0,±

∞或∞），

则　　　　　　　==1．

例1求．

解　=．

例2求．

例3求．

例4求．

解　令arcsinx=t，则x=sint且x→0时t→0．

所以=．

例5求．

解　=

　　　　　　=．

考察极限

问题2：

观察当x→+∞时函数的变化趋势：

x

1

2

10

1000

10000

100000

2.25

2.594

2.717

2.7181

2.7182

2.71828

当x取正值并无限增大时，是逐渐增大的，但是不论x如何大，的值总不会超过3．实际上如果继续增大x．即当x→+∞时，可以验证是趋近于一个确定的无理数e＝2.718281828...．

当x→-∞时，函数有类似的变化趋势，只是它是逐渐减小而趋向于e．

综上所述，得　　　

二．=e．

=e的特点：

（１）lim（1+无穷小）；

（２）“无穷小”与“无穷大”的解析式互为倒数．

推广　（１）若ϕ（x）=∞,（a可以是有限数x0,±

∞或∞），则

　　　　　=e；

（２）若ϕ（x）=0,（a可以是有限数x0,±

　　　　　=e．

变形　令=t，则x→∞时t→0，代入后得到．

如果在形式上分别对底和幂求极限，得到的是不确定的结果1∞，因此通常称之为1∞不定型．

例6求．

解　令－=t，则x=－．

当x→∞时t→0，

于是　　　==e–2．

例7求．

解　令=1+u，则x=2－．

当x→∞时u→0，

于是　　　=

==e-1．

例8求．

解　设t=tanx，则＝cotx．

当x→0时t→0，

于是　　　==e．

小结：

两个重要极限在求极限过程中有着很重要的作用，特别要注意其变式。

作业：

见首页

§

2-1导数的概念

一、两个实例

实例1瞬时速度

考察质点的自由落体运动．真空中，质点在时刻t=0到时刻t这一时间段内下落的路程s由公式s=gt2来确定．现在来求t=1秒这一时刻质点的速度．

当∆t很小时，从1秒到1+∆t秒这段时间内，质点运动的速度变化不大，可以这段时间内的平均速度作为质点在t=1时速度的近似．

∆t（s）

∆s（m）

（m/s）

0.1

1.029

10.29

0.01

0.09849

9.849

0.001

0.0098049

9.8049

0.0001

0.000980049

9.80049

0.00001

0.00009800049

9.800049

上表看出，平均速度随着∆t变化而变化，当∆t越小时，越接近于一个定值—9.8m/s．考察下列各式：

　　　　∆s=g⋅（1+∆t）2－g⋅12=g[2⋅∆t+（∆t）2]，

=g⋅=g（2+∆t），

思考：

当∆t越来越接近于0时，越来越接近于1秒时的“速度”．现在取∆t→0的极限，得

g=9.8（m/s）．

为质点在=1秒时速度为瞬时速度．

一般地，设质点的位移规律是s=f（t），在时刻t时时间有改变量∆t，s相应的改变量为∆s=f（t+∆t）-f（t），在时间段t到t+∆t内的平均速度为

=，

对平均速度取∆t→0的极限，得

v（t）=，

称v（t）为时刻t的瞬时速。

研究类似的例子

实例2曲线的切线

设方程为y=f（x）曲线为L．其上一点A的坐标为（x0,f（x0））．在曲线上点A附近另取一点B，它的坐标是（x0+∆x,f（x0+∆x））．直线AB是曲线的割线，它的倾斜角记作β．由图中的Rt∆ACB，可知割线AB的斜率

tanβ=．

在数量上，它表示当自变量从x变到x+∆x时函数f（x）

关于变量x的平均变化率（增长率或减小率）．

现在让点B沿着曲线L趋向于点A，此时∆x→0，

过点A的割线AB如果也能趋向于一个极限位置——

直线AT，我们就称L在点A处存在切线AT．记AT

的倾斜角为α，则α为β的极限，若α≠90︒，得切线AT

的斜率为

tanα=tanβ=．

在数量上，它表示函数f（x）在x处的变化率．

上述两个实例，虽然表达问题的函数形式y=f（x）和自变量x具体内容不同，但本质都是要求函数y关于自变量x在某一点x处的变化率．

1.自变量x作微小变化∆x，求出函数在自变量这个段内的平均变化率=，作为点x处变化率的近似；

2.对求∆x→0的极限，若它存在，这个极限即为点x处变化率的的精确值．

二、导数的定义

1.函数在一点处可导的概念

定义设函数y=f（x）在x0的某个邻域内有定义．对应于自变量x在x0处有改变量∆x，函数y=f（x）相应的改变量为∆y=f（x0+∆x）-f（x0），若这两个改变量的比

当∆x→0时存在极限，我们就称函数y=f（x）在点x0处可导，并把这一极限称为函数y=f（x）在点x0处的导数（或变化率），记作或f'

（x0）或或．即

=f'

（x0）=（2-1）

比值表示函数y=f（x）在x0到x0+∆x之间的平均变化率，导数则表示了函数在点x0处的变化率，它反映了函数y=f（x）在点x0处的变化的快慢．

如果当∆x→0时的极限不存在，我们就称函数y=f（x）在点x0处不可导或导数不存在．

在定义中，若设x=x0+∆x，则（2-1）可写成

f'

（x0）=（2-2）

根据导数的定义，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤如下：

第一步求函数的改变量∆y=f（x0+∆x）-f（x0）；

第二步求比值；

第三步求极限f'

（x0）=．

例1求y=f（x）=x2在点x=2处的导数．

解∆y=f（2+∆x）-f

（2）=（2+∆x）2-22=4∆x+（∆x）2；

=4+∆x；

=（4+∆x）=4．

所以y'

|x=2=4．

当存在时，称其极限值为函数y=f（x）在点x0处的左导数，记作；

当存在时，称其极限值为函数y=f（x）在点x0处的右导数，记作．

据极限与左、右极限之间的关系

（x0）⇔存在,，且==f'

（x0）．

2.导函数的概念

如果函数y=f（x）在开区间（a,b）内每一点处都可导，就称函数y=f（x）在开区间（a,b）内可导．这时，对开区间（a,b）内每一个确定的值x0都有对应着一个确定的导数f'

（x0），这样就在开区间（a,b）内，构成一个新的函数，我们把这一新的函数称为f（x）的导函数，记作等f'

（x）或y'

等．

根据导数定义，就可得出导函数

（x）=y'

=（2-3）

导函数也简称为导数．

注意　（１）f'

（x）是x的函数，而f'

（x0）是一个数值

（２）f（x）在点处的导数f'

（x0）就是导函数f'

（x）在点x0处的函数值．

例2求y=C（C为常数）的导数．

解　因为∆y=C-C=0，=0，所以y'

==0．

即（C）'

=0常数的导数恒等于零）．

例3求y=xn（n∈N,x∈R）的导数．

解因为∆y=（x+∆x）n-xn=nxn-1∆x+xn-2（∆x）2+...+（∆x）n，

=nxn-1+xn-2⋅∆x+...+（∆x）n-1，

从而有y'

==[nxn-1+xn-2⋅∆x+...+（∆x）n-1]=nxn-1．

即（xn）'

=nxn-1．

可以证明，一般的幂函数y=xα,（α∈R,x>

0）的导数为

（xα）'

=αxα-1．

例如　（）'

=（）'

=；

（）'

=（x-1）'

=-x-2=-．

例4求y=sinx,（x∈R）的导数．

解　=，在§

1-7中已经求得

=cosx，

即（sinx）'

=cosx．

用类似的方法可以求得y=cosx,（x∈R）的导数为

（cosx）'

=-sinx．

例5求y=logax的导数（a>

0,a≠1,x>

0）．

解　对a=e、y=lnx的情况，在§

1-7中已经求得为

（lnx）'

=．

对一般的a，只要先用换底公式得y=logax=，以下与§

1-7完全相同推导，可得

（logax）'

三、导数的几何意义

方程为y=f（x）的曲线，在点A（x0,f（x0））处存在非垂直切线AT的充分必要条件是f（x）在x0存在导数f'

（x0），且AT的斜率k=f'

导数的几何意义——函数y=f（x）在x0处的导数f'

（x0），是函数图象在点（x0,f（x0））处切线的斜率，另一方面也可立即得到切线的方程为

　　　　　　　　y-f（x0）=f'

（x0）（x-x0）　　　　（2-4）

过切点A（x0,f（x0））且垂直于切线的直线，称为曲线y=f（x）在点A（x0,f（x0））处的法线，则当切线非水平（即f'

（x0）≠0）时的法线方程为

　　　　　　　　y-f（x0）=-（x-x0）（2-5）

例6求曲线y=sinx在点（,）处的切线和法线方程．

解　（sinx）'

=cosx=．

所求的切线和法线方程为　　　y－=（x－），

法线方程　　　　　　　y－=－（x－）．

例7求曲线y=lnx平行于直线y=2x的切线方程．

解　设切点为A（x0,y0），则曲线在点A处的切线的斜率为y'

（x0），

y'

（x0）=（lnx）'

=，

因为切线平行于直线y=2x，，所以=2，即x0=；

又切点位于曲线上，因而y0=ln=-ln2．

故所求的切线方程为

y+ln2=2（x-），即y=2x-1-ln2．

四、可导和连续的关系

如果函数y=f（x）在点x0处可导，则存在极限

（x0），则=f'

（x0）+α（α=0），或∆y=f'

（x0）∆x+α⋅∆x（α=0），

所以∆y=[f'

（x0）∆x+α⋅∆x]=0．

这表明函数y=f（x）在点x0处连续．

但y=f（x）在点x0处连续，在x0处不一定是可导的．

例如：

（１）y=|x|在x=0处都连续但却不可导．

（２）y=在x=0处都连续但却不可导．注意在点（0,0）处还存在切线，只是切线是垂直的．

学生思考：

设函数f（x）=，讨论函数f（x）在x=0处的连续性和可导性．

小结：

明确导数就是函数相对于自变量的变化率。

作业：

4－2　换元积分法

教学过程

复习引入

1．不定积分的概念；

2．不定积分的基本公式和性质。

新课：

一、第一类换元积分法

，积分基本公式中只有：

=sinx+C．为了应用这个公式，可进行如下变换：

sinu+Csin2x+C,

因为（sin2x+C）'

=cos2x，所以=sin2x+C是正确的．

定理1　设f（u）具有原函数F（u），ϕ'

（x）是连续函数，那么

=F[ϕ（x）]+C．

证明思路因为F（u）是f（u）的一个原函