学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语章末综合检测(一)新人教A版必修第一册.doc

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章末综合检测

（一）

（时间：

120分钟，满分：

150分）

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“∀x∈R，x2＋3x－1≥0”的否定是（　　）

A．∃x∈R，x2＋3x－1＜0　　 B．∃x∈R，x2＋3x－1≥0

C．∃x∈R，x2＋3x－1≤0 D．∀x∈R，x2＋3x－1＜0

解析：

选A.由全称量词命题的否定的定义可知，该全称量词命题的否定为∃x∈R，x2＋3x－1＜0.故选A.

2．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则正整数m＝（　　）

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：

选B.根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1且小于等于m的全部整数，知m＝2.

3．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于（　　）

A．0 B．1

C．2 D．－1

解析：

选C.由A＝B，得x＝0或y＝0.

当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；

当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，则2x＋y＝2.

4．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝（　　）

A．{x|x≥－1} B．{x|x≤2}

C．{x|0＜x≤2} D．{x|－1≤x≤2}

解析：

选A.借助数轴易得A∪B＝{x|x≥－1}．

5．已知命题p：

实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（　　）

A．命题﹁p是真命题 B．命题p是存在量词命题

C．命题p是全称量词命题 D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题

解析：

选C.命题p：

实数的平方是非负数，是真命题，故﹁p是假命题，命题p是全称量词命题．故选C.

6．设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则∁U（A∩B）等于（　　）

A．{2，3} B．{1，4，5}

C．{4，5} D．{1，5}

解析：

选B.由题知A∩B＝{2，3}，

所以∁U（A∩B）＝{1，4，5}．

7．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩（∁RB）＝（　　）

A．{x|x＞1} B．{x|x≥1}

C．{x|1＜x≤2} D．{x|1≤x≤2}

解析：

选D.因为B＝{x|x＜1}，所以∁RB＝{x|x≥1}．

所以A∩（∁RB）＝{x|1≤x≤2}．

8．已知集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为（　　）

A．{2} B．{3}

C．{－3，2} D．{－2，3}

解析：

选A.注意到集合A中的元素为自然数．因此A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，而B＝{－3，2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.

9．已知条件甲：

（x－m）（y－n）＜0，条件乙：

x＞m且y＜n，则甲是乙的（　　）

A．充要条件 B．既不充分也不必要条件

C．充分不必要条件 D．必要不充分条件

解析：

选D.因为甲：

（x－m）（y－n）＜0⇔或所以甲是乙的必要不充分条件．

10．若集合A，B满足A＝{x∈Z|x＜3}，B⊆N，则A∩B不可能是（　　）

A．{0，1，2} B．{1，2}

C．{－1} D．∅

解析：

选C.由B⊆N，－1∉N，故A∩B不可能是{－1}．故选C.

11．已知集合A＝{x|a－2＜x＜a＋2}，B＝{x|x≤－2或x≥4}，则A∩B＝∅的充要条件是（　　）

A．0≤a≤2 B．－2＜a＜2

C．0＜a≤2 D．0＜a＜2

解析：

选A.A∩B＝∅⇔⇔0≤a≤2.

12．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是（　　）

A．1 B．－1

C．0，1 D．－1，0，1

解析：

选D.因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0（a∈R）仅有一个根．

①当a＝0时，

方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．

②当a≠0时，

由Δ＝22－4·a·a＝0，

即a2＝1，所以a＝±1.

此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．

综上，a＝0或a＝±1.

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．

13．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．

解析：

由于A∪B＝A，所以B⊆A，又因为B≠∅，

所以有解得2＜m≤4.

答案：

2

14．已知p：

“x2－3x－4＝0”，q：

“x＝4”，则p是q的________条件．

解析：

根据题意，p：

“x2－3x－4＝0”，即x＝4或－1，则有若q：

x＝4成立，则有p：

“x2－3x－4＝0”成立，反之若p：

“x2－3x－4＝0”成立，则q：

x＝4不一定成立，则p是q的必要不充分条件．

答案：

必要不充分

15．下列不等式：

①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1，其中，可以是x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．

解析：

由于x2＜1即－1＜x＜1，①显然不能使－1＜x＜1一定成立，②③④满足题意．

答案：

②③④

16．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，A∪（∁RB）＝R，则实数a的取值范围是________．

解析：

因为B＝{x|1＜x＜2}，所以∁RB＝{x|x≤1或x≥2}．

又因为A∪（∁RB）＝R，A＝{x|x＜a}，

将∁RB与A表示在数轴上，如图所示：

可得当a≥2时，A∪（∁RB）＝R.

答案：

{a|a≥2}

三、解答题：

本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出下列命题的否定．

（1）所有的正方形都是矩形；

（2）每一个奇数都是正数；

（3）∀x∈R，x2－x＋1≥0；

（4）有些实数有平方根；

（5）∃x∈R，x2＋1＝0.

解：

前三个命题都是全称量词命题，即具有形式“∀x∈M，p（x）”．

其中命题

（1）的否定是“并非所有的正方形都是矩形”，也就是说“存在一个正方形不是矩形”；

命题

（2）的否定是“并非每一个奇数都是正数”，也就是说“存在一个奇数不是正数”；

命题（3）的否定是“并非∀x∈R，x2－x＋1≥0”，也就是说“∃x∈R，x2－x＋1＜0”；　

后两个命题都是存在量词命题，即具有形式“∃x∈M，p（x）”．

其中命题（4）的否定是“不存在一个实数，它有平方根”，也就是说“所有实数都没有平方根”；

命题（5）的否定是“不存在x∈R，x2＋1＝0”，也就是说“∀x∈R，x2＋1≠0”．

18．（本小题满分12分）设集合A＝{x|（x－3）（x－a）＝0，a∈R}，B＝{x|（x－4）（x－1）＝0}．

（1）若a＝1时，求A∩B，A∪B；

（2）设C＝A∪B，若集合C的子集有8个，求实数a的取值集合．

解：

（1）由集合A＝{x|（x－3）（x－a）＝0，a∈R}，

B＝{x|（x－4）（x－1）＝0}，

所以当a＝1时，A＝{1，3}，B＝{1，4}，

所以A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，4}．

（2）因为C＝A∪B，集合C的子集有8个，所以集合C中有3个元素，而1，3，4∈C，故实数a的取值集合为{1，3，4}．

19．（本小题满分12分）下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件；并说明理由．

（1）p：

|x|＝|y|，q：

x＝y；

（2）p：

△ABC是直角三角形，q：

△ABC是等腰三角形；

（3）p：

四边形的对角线互相平分，q：

四边形是矩形．

解：

（1）因为|x|＝|y|x＝y，

但x＝y⇒|x|＝|y|，

所以p是q的必要不充分条件．

（2）因为△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，

△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形，

所以p是q的既不充分也不必要条件．

（3）因为四边形的对角线互相平分四边形是矩形，

四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，

所以p是q的必要不充分条件．

20．（本小题满分12分）选择合适的量词（∀、∃），加在p（x）的前面，使其成为一个真命题：

（1）x＞2；

（2）x2≥0；

（3）x是偶数；

（4）若x是无理数，则x2是无理数；

（5）a2＋b2＝c2.（这是含有三个变量的语句，用p（a，b，c）表示）

解：

（1）∃x∈R，x＞2.

（2）∀x∈R，x2≥0；∃x∈R，x2≥0都是真命题．

（3）∃x∈Z，x是偶数；

（4）∃x∈R，若x是无理数，则x2是无理数；

（5）∃a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.

21．（本小题满分12分）已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．

（1）当m＝2时，求M∩N，M∪N；

（2）当M∩N＝M时，求实数m的值．

解：

（1）由题意得M＝{2}，当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，

则M∩N＝{2}，M∪N＝{1，2}．

（2）因为M∩N＝M，所以M⊆N，因为M＝{2}，所以2∈N.

所以2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，

即4－6＋m＝0，解得m＝2.

22．（本小题满分12分）已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}．

（1）求a＝10时，求A∩B，A∪B;

（2）求能使A⊆（A∩B）成立的a的取值范围．

解：

（1）当a＝10时，A＝{x|21≤x≤25}．

又B＝{x|3≤x≤22}．

所以A∩B＝{x|21≤x≤22}，A∪B＝{x|3≤x≤25}．

（2）由A⊆（A∩B），可知A⊆B.

又因为A为非空集合，

所以解得6≤a≤9.