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①、Aij和aij的大小无关；
②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；
③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；
3.代数余子式和余子式的关系：
Mij?
（?
1）i?
jAij4.行列式的重要公式：
①、主对角行列式：
主对角元素的乘积；
Aij?
jMij
n（n?
1）2
②、副对角行列式：
副对角元素的乘积?
?
1）；
③、上、下三角行列式（?
◥?
◣?
）：
④、?
◤?
和?
◢?
：
1）⑤、拉普拉斯展开式：
；
AOACCAOA
AB、?
1）m?
nABCBOBBOBC
⑥、范德蒙行列式：
大指标减小指标的连乘积；
⑦、特征值5.证明A?
0的方法：
①、A?
A；
②、反证法；
③、构造齐次方程组Ax?
0，证明其有非零解；
④、利用秩，证明r（A）?
n；
⑤、证明0是其特征值；
2、矩阵
1.
A是n阶可逆矩阵：
A?
0（是非奇异矩阵）；
r（A）?
n（是满秩矩阵）?
A的行（列）向量组线性无关；
?
齐次方程组Ax?
0有非零解；
b?
Rn，Ax?
b总有唯一解；
A与E等价；
A可表示成若干个初等矩阵的乘积；
A的特征值全不为0；
ATA是正定矩阵；
A的行（列）向量组是Rn的一组基；
A是Rn中某两组基的过渡矩阵；
2.对于n阶矩阵A：
AA*?
A*A?
AE无条件恒成立；
3.
（A?
1）*?
（A*）?
1（AB）T?
BTAT
1）T?
（AT）?
1（AB）*?
B*A*
（A*）T?
（AT）*（AB）?
1?
B?
1A?
1
4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；
行列式是数值，可求代数和；
5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
A1?
若A?
A2
，则：
As?
Ⅰ、A?
A1A2?
As；
Ⅱ、A?
1A2
O?
B?
O?
1CB?
AO?
②、?
OB?
OA?
③、?
BO?
AC?
④、?
O
⑤、?
CB?
BCA
3、矩阵的初等变换与线性方程组
1.一个m?
n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：
EF?
r
m?
n
等价类：
所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；
标准形为其形状最简单的矩阵；
对于同型矩阵A、B，若r（A）?
r（B）?
B；
2.行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3.初等行变换的应用：
（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
①、若（A?
?
E）?
（E?
X），则A可逆，且X?
1；
②、对矩阵（A,B）做初等行变化，当A变为E时，B就变成A?
1B，即：
（A,B）?
（E,A?
1B）；
③、求解线形方程组：
对于n个未知数n个方程Ax?
b，如果（A,b）?
（E,x），则A可逆，且x?
1b；
4.初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：
左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
，左乘矩阵A，?
乘A的各行元素；
右乘，?
乘A的各列元
ii
n?
c
2
素；
1③、对调两行或两列，符号E（i,j），且E（i,j）?
E（i,j），例如：
④、倍乘某行或某列，符号E（i（k）），且E（i（k））?
E（i（）），例如：
k
k?
（k?
0）；
⑤、倍加某行或某列，符号E（ij（k））,且E（ij（k））?
E（ij（?
k）），如：
5.矩阵秩的基本性质：
①、0?
r（Am?
n）?
min（m,n）；
②、r（AT）?
r（A）；
③、若A?
B，则r（A）?
r（B）；
④、若P、Q可逆，则r（A）?
r（PA）?
r（AQ）?
r（PAQ）；
（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max（r（A）,r（B））?
r（A,B）?
（※）⑥、r（A?
B）?
（※）⑦、r（AB）?
min（r（A）,r（B））；
（※）
⑧、如果A是m?
n矩阵，B是n?
s矩阵，且AB?
0，则：
Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?
0解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、r（A）?
⑨、若A、B均为n阶方阵，则r（AB）?
6.三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：
一定可以分解为列矩阵（向量）?
行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
1ac?
②、型如?
01b?
的矩阵：
利用二项展开式
001?
③、利用特征值和相似对角化：
7.伴随矩阵：
①、伴随矩阵的秩：
r（A*）?
0?
r（A）?
②、伴随矩阵的特征值：
③、A*?
AA?
1、A*?
A8.关于A矩阵秩的描述：
A
（AX?
X,A*?
A*X?
X）；
①、r（A）?
n，A中有n阶子式不为0，n?
1阶子式全部为0；
（两句话）②、r（A）?
n，A中有n阶子式全部为0；
③、r（A）?
n，A中有n阶子式不为0；
9.线性方程组：
Ax?
b，其中A为m?
n矩阵，则：
①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?
b有m个方程；
②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax?
b为n元方程；
10.线性方程组Ax?
b的求解：
①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；
②、齐次解为对应齐次方程组的解；
③、特解：
自由变量赋初值后求得；
11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：
a11x1?
a12x2?
a1nxn?
b1?
ax?
2112222nn2①、?
am1x1?
am2x2?
anmxn?
bn
a11?
a21
am1
a12a22?
am2
a1n?
x1?
a2n?
x2?
b2?
（向量方程，A为m?
n矩阵，m个方程，n个?
amn?
xm?
bm?
未知数）
a
bx2（全部按列分块，其中?
2?
）；
an?
bn?
xn?
a2
④、a1x1?
a2x2?
anxn?
（线性表出）
⑤、有解的充要条件：
r（A,?
）?
n（n为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性
m个n维列向量所组成的向量组A：
1,?
2,?
m构成n?
m矩阵A?
m）；
1T?
T?
TTT
m个n维行向量所组成的向量组B：
m构成m?
n矩阵B?
含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2.①、向量组的线性相关、无关?
0有、无非零解；
（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出?
b是否有解；
（线性方程组）③、向量组的相互线性表示?
AX?
B是否有解；
（矩阵方程）
3.矩阵Am?
n与Bl?
n行向量组等价的充分必要条件是：
0和Bx?
0同解；
（P101例14）4.5.
r（ATA）?
（P101例15）
n维向量线性相关的几何意义：
篇二：
线性代数复习重点
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