赣豫陕学年高中数学第一章立体几何初步72棱柱棱锥棱台和圆柱圆锥圆台的体积学案北师大版必修2.docx
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赣豫陕学年高中数学第一章立体几何初步72棱柱棱锥棱台和圆柱圆锥圆台的体积学案北师大版必修2
7．2 棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
学习目标
1.掌握柱体、锥体、台体的体积计算公式，会利用它们求有关几何体的体积.2.掌握求几何体体积的基本技巧．
知识点一 柱、锥、台体的体积公式
几何体
体积公式
柱体
圆柱、
棱柱
V柱体＝Sh
S—柱体底面积，h—柱体的高
锥体
圆锥、
棱锥
V锥体＝
Sh
S—锥体底面积，h—锥体的高
台体
圆台、
棱台
V台体＝
（S上＋S下＋
）h
S上、S下—台体的上、下底面面积，h—高
知识点二 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V＝Sh
V＝
（S′＋
＋S）h
V＝
Sh.
1．锥体的体积等于底面面积与高之积．（ × ）
2．台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．（ √ ）
类型一 多面体的体积
例1 如图①是一个水平放置的正三棱柱ABC－A1B1C1，D是棱BC的中点．正三棱柱的主视图如图②，求正三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
考点
题点
解 由主视图可知，在正三棱柱中，AD＝
，AA1＝3，从而在等边三角形ABC中，BC＝
＝
＝2，所以正三棱柱的体积V＝Sh＝
×BC×AD×AA1＝
×2×
×3＝3
.
反思与感悟 求几何体体积的四种常用方法
（1）公式法：
规则几何体直接代入公式求解．
（2）等积法：
如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．
（3）补体法：
将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等．
（4）分割法：
将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
跟踪训练1 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A.
B.
C.
D.
考点
题点
答案 D
解析 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
截去三棱锥A1－AB1D1.
设正方体的棱长为a，
则
＝
×
a3＝
a3，
故剩余几何体的体积为a3－
a3＝
a3，
所以比值为
，故选D.
类型二 旋转体的体积
例2
（1）一个几何体的三视图如图所示（单位：
m），则该几何体的体积为________m3.
考点
题点
答案
解析 由所给三视图可知，该几何体是由相同底面的两个圆锥和一个圆柱组成，底面半径为1m，圆锥的高为1m，圆柱的高为2m，因此该几何体的体积V＝2×
×π×12×1＋π×12×2＝
（m3）．
（2）体积为52cm3的圆台，一个底面面积是另一个底面面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积为（ ）
A．54cm3B．54πcm3C．58cm3D．58πcm3
考点
题点
答案 A
解析 由底面面积之比为1∶9知，体积之比为1∶27.
截得的小圆锥与圆台体积比为1∶26，
∴小圆锥的体积为2cm3，
故原来圆锥的体积为54cm3，故选A.
反思与感悟 要充分利用旋转体的轴截面，将已知条件尽量归结到轴截面中求解，分析题中给出的数据，列出关系式后求出有关的量，再根据几何体的体积公式进行运算、解答．
（1）求台体的体积，其关键在于求高，在圆台中，一般把高放在等腰梯形中求解．
（2）“还台为锥”是求解台体的体积问题的重要思想，作出截面图，将空间问题平面化，是解决此类问题的关键．
跟踪训练2 设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________．
考点
题点
答案 21π
解析 设上，下底面半径，母线长分别为r，R，l.
作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°，
又∠BA1A＝90°，
∴∠BA1D＝60°，
∴AD＝
＝
，
∴R－r＝
.
BD＝A1D·tan60°＝3
，
∴R＋r＝3
.∴R＝2
，r＝
，而h＝3.
∴V圆台＝
πh（R2＋Rr＋r2）＝
π×3×[（2
）2＋2
×
＋（
）2]＝21π.
∴圆台的体积为21π.
类型三 几何体体积的求法
命题角度1 等体积法
例3 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1－D1EF的体积．
考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 锥体的体积
解
又三棱锥F－A1D1E的高为CD＝a，
反思与感悟
（1）三棱锥的每一个面都可当作底面来处理．
（2）利用等体积法可求点到面的距离．
跟踪训练3 如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在三棱锥A1－ABD中，求A到平面A1BD的距离d.
考点
题点
解 在三棱锥A1－ABD中，AA1是三棱锥A1－ABD的高，AB＝AD＝AA1＝1，A1B＝BD＝A1D＝
.
∵
×
×12×1＝
×
×
×
×
×d，
∴d＝
.
命题角度2 割补法
例4 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF与平面AC的距离为3，求该多面体的体积．
考点
题点
解 如图，连接EB，EC，AC.四棱锥E－ABCD的体积VE－ABCD＝
×42×3＝16.
因为AB＝2EF，EF∥AB，
所以S△EAB＝2S△BEF.
所以VF－EBC＝VC－EFB＝
VC－ABE＝
VE－ABC
＝
×
VE－ABCD＝4.
所以该多面体的体积V＝VE－ABCD＋VF－EBC＝16＋4＝20.
反思与感悟 通过“割补法”解决空间几何体的体积问题，需要思路灵活，有充分的空间想象力，什么时候“割”，什么时候“补”，“割”时割成几个图形，割成什么图形，“补”时补上什么图形，都需要灵活的选择．
跟踪训练4 如图所示，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，求该几何体的体积．
考点
题点
解 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图所示，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
1.已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B1—ABC的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 锥体的体积
答案 D
解析 V＝
Sh＝
×
×3＝
.
2．圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是16
π，则圆锥的体积是（ ）
A.
B.
C．64πD．128
π
考点 柱体、锥体、台体的体积
题点 锥体的体积
答案 B
解析 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
由题意知2r＝
，即l＝
r，
∴S侧＝πrl＝
πr2＝16
π，
解得r＝4.
∴l＝4
，圆锥的高h＝
＝4，
∴圆锥的体积为V＝
Sh＝
π×42×4＝
.
3．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则该棱台的体积是（ ）
A．18＋6
B．6＋2
C．24D．18
考点
题点
答案 B
解析 V＝
（2＋4＋
）×3＝6＋2
.
4．某几何体的三视图如图所示，其体积为________．
考点
题点
答案
解析 由三视图可知该几何体是半个圆锥，
则该几何体的体积为
×
π×12×2＝
.
5．如图是一个底面直径为20cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6cm，高为20cm的圆锥形铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降__________cm.
考点
题点
答案 0.6
解析 将铅锤取出后，水面下降部分实际是圆锥的体积．
设水面下降的高度为xcm，则π×
2x＝
π×
2×20，
得x＝0.6cm.
1．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
V柱体＝Sh
V台体＝
h（S＋
＋S′）
V锥体＝
Sh.
2．在三棱锥A－BCD中，若求点A到平面BCD的距离h，可以先求VA－BCD，h＝
.这种方法就是用等体积法求点到平面的距离，其中V一般用换顶点法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原则是V易求，且△BCD的面积易求．
3．求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．
一、选择题
1.如图，ABC－A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C－AA′B′B的体积是（ ）
A.
B.
C.
D.
考点
题点
答案 C
解析 ∵VC－A′B′C′＝
VABC－A′B′C′，
∴VC－AA′B′B＝
VABC－A′B′C′＝
.
2．已知一个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：
cm），可得几何体的体积是（ ）
A．4cm3B．6cm3C．8cm3D．12cm3
考点
题点
答案 A
3．已知圆锥的母线长为8，底面圆的周长为6π，则它的体积是（ ）
A．9
πB．9
C．3
πD．3
考点
题点
答案 C
解析 设圆锥的底面圆的半径为r，高为h，则2πr＝6π，∴r＝3.
∴h＝
＝
，
∴V＝
π·r2·h＝3
π.
4.如图，在梯形ABCD中，∠ABC＝
，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A.
πB.
πC.
πD．2π
考点 组合几何体的表面积与体积
题点 柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积
答案 A
解析 由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥（如图），
该几何体的体积为π×12×2－
×π×12×1＝
π.
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
考点
题点
答案 C
解析 由三视图可知，该几何体是由正三棱柱截去一个三棱锥得到的几何体．
正三棱柱的底面边长为2，高为2，体积V1＝Sh＝
×2×
×2＝2
.
截去的三棱锥的高为1，体积V2＝
×
×1＝
.
故所求体积为V＝V1－V2＝
，故选C.
6．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为
，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为（ ）
A．1B.
C．3D.
考点
题点
答案 A
解析 在正△ABC中，D为BC中点，
则有AD＝
AB＝
，S△DB1C1＝
×2×
＝
.
又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD平面ABC，
∴AD⊥平面BB1C1C，
即AD为三棱锥A－B1DC1底面上的高．
7．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为
，则这个圆锥的母线长为（ ）
A．2B．2
C.
D.
考点
题点
答案 A
解析 如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝
AB2，∴
＝
AB2，∴AB＝2.
8．某几何体的三视图如图所示（单位：
cm），则该几何体的体积是（ ）
A．8cm3B．12cm3
C.
cm3D.
cm3
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