初中最短路径问题Word格式.docx

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【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．

【十二个基本问题】

【问题1】

作法

图形

原理

在直线l上求一点P，使

PA+PB值最小．

连AB，与l交点即为P．

两点之间线段最短．

PA+PB最小值为AB．

【问题2】“将军饮马”

作B关于l的对称点B＇连AB＇，与l交点即为P．

PA+PB最小值为AB＇．

【问题3】

在直线l1、l2上分别求点

M、N，使△PMN的周长最小．

分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇，连P＇P＇与两直线交点即为M，N．

，

PM+MN+PN的最小值为线段P＇P＇＇的长．

【问题4】

M、N，使四边形PQMN

的周长最小．

分别作点Q、P关于直线

l1、l2的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N．

两点之间线段最短．四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长．

【问题10】

PA-PB的值最大．

作直线AB，与直线l的交点即为P．

三角形任意两边之差小于第三边．PA-PB≤AB．

PA-PB的最大值＝AB．

【问题11】

作B关于l的对称点B＇作直线AB＇，与l交点即为P．

三角形任意两边之差小于第三边．PA-PB≤AB＇．

PA-PB最大值＝AB＇．

【问题12】“费马点”

△ABC中每一内角都小于

120°

，在△ABC内求一点

P，使PA+PB+PC值最小．

所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠

APC＝120°

．以AB、AC

为边向外作等边△ABD、

△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求．

PA+PB+PC最小值＝CD．

【精品练习】

1.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）

A.2

B.

2

AD

C．3D．

BC

2.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°

，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD

交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（）

A．2B．2

C．2+D．4

3.四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°

，∠C＝70°

，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，

∠AMN+∠ANM的度数为（）

A．120°

B．130°

C．110°

D．140°

4.如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°

，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB

上的动点，则BM+MN的最小值是．

5.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°

，∠B＝30°

，AB＝6，点E在AB边上，点D在BC边上（不与点B、C重合），且ED＝AE，则线段AE的取值范围是．

6.如图，∠AOB＝30°

，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是．（注“勾股定理”：

直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt△ABC中，∠C＝90°

，则有AC2+BC2=AB2）

7.如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°

，点B在x轴的正半轴，坐标为B（6，0）．

OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA＋MN的最小值是．

8.已知A（2，4）、B（4，2）．C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为，此时C、D两点的坐标分别为．

9．已知A（1，1）、B（4，2）．

（1）P为x轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；

（2）P为x轴上一动点，求PA-PB的值最大时P点的坐标；

（3）CD为x轴上一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；

10.点C为∠AOB内一点．

（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；

（2）在

（1）的条件下，若∠AOB＝30°

，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．

11.

（1）如图①，△ABD和△ACE均为等边三角形，BE、CE交于F，连AF，求证：

AF+BF+CF＝CD；