第10讲数阵图二讲解学习Word文档格式.docx
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纵横图:
长期以来,纵横图一直被看作是一种数字游戏。
一直到南宋时期的数学家杨辉,才真正把它作为一个数学问题而加以深入的研究。
杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中,不仅搜集到了大量的各种类型的纵横图,而且对其中的部分纵横图还给出了如何构造的规则和方法,从而开创了这一组合数学研究的新领域。
解决幻方问题的关键是确定中心数和顶点数。
(定中间数,填四角数,算其余数)
三阶幻方:
就是将九个连续自然数填入3×
3(三行三列)的方格内,使每行每列、每条对角线的和相等,这叫做三阶幻方。
奇数阶幻方:
“罗伯法”“楼贝法”
西欧在十六,十七世纪时,构造幻方非常盛行。
十七世纪,法E路第十四对构造幻方有着浓厚的兴趣,他专门派DeLaLoubere(楼贝)出使泰国(1687-1688),Loubere:
将在邏罗学的构造作画何奇数阶幻方法的一种统一的方法
1居上行正中央,依次斜填切莫忘,上出框时往下填,右出框时左边放,排重便在下格填,右上排重一个样。
扬辉方法:
扬辉在《续古摘奇算法》中,写到“九子排列,上下对易,左右相更,四维挺出”
杨辉给出的方形纵横图共有十三幅,它们是:
洛书数(三阶幻方)一幅,四四图(四阶幻方)两幅,五五图(五阶幻方)两幅,六六图(六阶幻方)两幅,七七图(七阶幻方)两幅,六十四图(八阶幻方)两幅,九九图(九阶幻方)一幅,百子图(十阶幻方)一幅(参见图1-9-3)。
其中还给出了“洛书数”和“四四阴图”的构造方法。
如“洛书数”的构造方法为:
“九子斜排,上下对易,左右相更,四维挺出”。
但可惜的是,杨辉只停留在个别纵横图的构造上,没有上升成一般的理论。
他所造出的百子图,虽然每一行和,每一列都等于(1+2+3+…97+98+99+100)=505,但两对角和不是等于505,直到我国清代的张潮(165—?
)费了九牛二虎之力才造出第一个两对角和也是505的百子图。
偶数阶幻方:
对称交换的方法。
1、将数依次填入方格中,对角线满足要求。
2、调整行,对角线数不动,对称行的其它数对调。
3、调整列,对角线数不动,对称列的其它数对调。
数阵图:
把一些数字按照一定的要求,排列成各种各样的图形,叫做数阵图。
1、封闭型:
封闭型数阵图的解题突破口,是确定各边顶点所应填的数。
为确定这些数,采用的方法是建立有关的等式,通过以最小值到最大值的讨论,来确定每条边上的几个数之和,再将和数进行拆分以找到顶点应填入的数,其余的数再利用和与顶点的数就容易被填出。
(1—6)
2、辐射型:
辐射型数阵图,解法的关键是确定中心数。
具体方法是:
通过所给条件建立有关等式,通过整除性的讨论,确定出中心数的取值,然后求出各边上数的和,最后将和自然数分拆成中心数的若干个自然数之和,确定边上其他的数。
(1—9和相等)
3、复合型:
复合型数阵图,解题的关键是要以中心数和顶点数为突破口。
(1~7,和相等)
典型举例1
将1~8这八个数分别填入右图的○中,使两个大圆上的五个数之和都等于21。
解:
中间两个数是重叠数,重叠次数都是1次,所以两个重叠数之和为
21×
2-(1+2+…+8)=6。
在已知的八个数中,两个数之和为6的只有1与5,2与4。
每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。
如果两个重叠数为1与5,那么剩下的六个数2,3,4,6,7,8平分为两组,每组三数之和为15的只有
2+6+7=15和3+4+8=15,
故有左下图的填法。
如果两个重叠数为2与4,那么同理可得上页右下图的填法。
1、把1—6六个数字填入下图,使每个大圆上四个数字之和都是16。
2、把2、4、6、8、10、12、14、16这八个数分别填入下图,使每个大圆内五个数的和都是44。
典型举例2
将1~6这六个自然数分别填入右图的六个○内,使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。
本题有三个重叠数,即三角形三个顶点○内的数都是重叠数,并且各重叠一次。
所以三个重叠数之和等于
11×
3-(1+2+…+6)=12。
1~6中三个数之和等于12的有1,5,6;
2,4,6;
3,4,5。
如果三个重叠数是1,5,6,那么根据每条边上的三个数之和等于11,可得左下图的填法。
容易发现,所填数不是1~6,不合题意。
同理,三个重叠数也不能是3,4,5。
经试验,当重叠数是2,4,6时,可以得到符合题意的填法(见右上图)。
将3—8这六个数分别填入下图中,使得每条边上的三数之和都是15。
典型举例3
将1~6这六个自然数分别填入下图的六个○中,使得三角形每条边上的三个数之和都相等。
与典型举例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。
因为三个重叠数都重叠了一次,由(1+2+…+6)+重叠数之和=每边三数之和×
3,得到每边的三数之和等于
[(1+2+…+6)+重叠数之和]÷
3
=(21+重叠数之和)÷
=7+重叠数之和÷
3。
因为每边的三数之和是整数,所以重叠数之和应是3的倍数。
考虑到重叠数是1~6中的数,所以三个重叠数之和只能是6,9,12或15,对应的每条边上的三数之和就是9,10,11或12。
与例2的方法类似,可得下图的四种填法:
每边三数之和=9每边三数之和=10每边三数之和=11每边三数之和=12
典型举例4
将2~9这八个数分别填入右图的○里,使每条边上的三个数之和都等于18。
四个角上的数是重叠数,重叠次数都是1次。
所以四个重叠数之和等于
18×
4-(2+3+…+9)=28。
而在已知的八个数中,四数之和为28的只有:
4+7+8+9=28或5+6+8+9=28。
又由于18-9-8=1,1不是已知的八个数之一,所以,8和9只能填对角处。
由此得到左下图所示的重叠数的两种填法:
“试填”的结果,只有右上图的填法符合题意。
说明:
以上例题都是封闭型数阵图。
一般地,在m边形中,每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。
与“辐射型m-n图只有一个重叠数,重叠次数是m-1”不同的是,封闭型m-n图有m个重叠数,重叠次数都是1次。
对于封闭型数阵图,因为重叠数只重叠一次,所以
已知各数之和+重叠数之和
=每边各数之和×
边数。
由这个关系式,就可以分析解决封闭型数阵图的问题。
前面我们讲了辐射型数阵图和封闭型数阵图,虽然大多数数阵问题要比它们复杂些,但只要紧紧抓住“重叠数”进行分析,就能解决很多数阵问题。
1、将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数分别填入下面的图里,使得每条边上的三个数之和是12。
2、将2—9这八个数填入下图,使每条边上的三个数的和都等于16。
把1~7分别填入左下图中的七个空块里,使每个圆圈里的四个数之和都等于13。
这道题的“重叠数”很多。
有重叠2次的(中心数,记为a);
有重叠1次的(三个数,分别记为b,c,d)。
根据题意应有
(1+2+…+7)+a+a+b+c+d=13×
3,
即a+a+b+c+d=11。
因为1+2+3+4=10,11-10=1,所以只有a=1,b,c,d分别为2,3,4才符合题意,填法见右上图。
在下面圆圈内的空白处填入7、8、10、12,使每个院内的四个数的和都相等。
把1—9这九个数填入下图的方格中,并使每一行、每一列和对角线上的数的和都相等
方法一:
(1)先填中心数,把1-9按从小到大顺序排成一排,第五个数填在中心格。
(2)将剩下的八个数排成两排,第一排为1、2、3、4、第二排为8、7、6、5即
1234
8765
(3)根据两排数字填上四个角,四个角的数就是两排中第二、第四列中的四个数,这两列数字按对角填。
(4)用对角线的和减去每行或每列知道的数字就完成了。
方法二:
(1)将这9个数字按照如下方式排列:
1
24
357
68
9
(2)上下两个数互换:
1
(3)左右两个数互换:
753
(4)填入表格即可。
1、将20-28填入九宫格中,使每行、每列、两条对角线的和相等。
1、将17-25填入九宫格中,使之成为一个三阶幻方。
A基础训练
1.把1~8填入下页左上图的八个○里,使每个圆圈上的五个数之和都等于20。
2.把1~6这六个数填入右上图的○里,使每个圆圈上的四个数之和都相等。
3.将1~8填入左下图的八个○中,使得每条边上的三个数之和都等于15。
4.将1~8填入右上图的八个○中,使得每条直线上的四个数之和与每个圆周上的四个数之和都相等。
5.将1~7填入右图的七个○,使得每条直线上的各数之和都相等。
6.把1,3,5,7,9,11,13分别填入左图中的七个空块中,使得每个圆内的四个数之和都等于34。
答案与提示练习17
每个圆周的四数之和=12每个圆周的四数之和=13
每个圆周的四数之和=14
每个圆周的四数之和=15每个圆周的四数之和=16
3.提示:
四个顶点数之和为15×
4-(1+2+…+8)=24,四个顶点数有3,6,7,8和4,5,7,8两种可能。
经试验只有左下图一个解。
4.提示:
每条直线或每个圆周上的四个数之和都等于
(1+2+…+8)÷
7=18。
填法见右上图。
(填法不唯一)
5.提示:
顶上的数重叠2次,其它数都重叠1次。
(1+2+…+7)×
2+顶上数=每条线上的和×
5,
56+顶上数=每条线上的和×
5。
由上式等号左端是5的倍数,推知“顶上数”=4。
所以每条线上的三个数之和为
(56+4)÷
5=12。
经试验填法如上图。
6.与例5类似(见上图)。
B冲刺夺冠
1.把1~8这8个数,分别填入图中的方格内(每个数必须用一次