九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形全章复习与巩固知识讲解及例题演练北师大版Word文档下载推荐.docx
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(6)一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形;
对角线:
(7)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
要点诠释:
平行线的性质:
(1)平行线间的距离都相等;
(2)等底等高的平行四边形面积相等.
要点二、菱形
1.定义:
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
(1)具有平行四边形的一切性质;
(2)四条边相等;
(3)两条对角线互相平分且垂直,并且每一条对角线平分一组对角;
(4)中心对称图形,轴对称图形.
(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形;
(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;
(3)四边相等的四边形是菱形.
要点三、矩形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
(1)具有平行四边形的所有性质;
(2)四个角都是直角;
(3)对角线互相平分且相等;
4.判定:
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.
(2)对角线相等的平行四边形是矩形.
(3)有三个角是直角的四边形是矩形.
由矩形得直角三角形的性质:
(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;
(2)直角三角形中,30度角所对应的直角边等于斜边的一半.
要点四、正方形
四条边都相等,四个角都是直角的四边形叫做正方形.
(1)对边平行;
(2)四个角都是直角;
(3)四条边都相等;
(4)对角线互相垂直平分且相等,对角线平分对角;
(5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形;
(6)中心对称图形,轴对称图形.
边长×
边长=×
对角线×
对角线
(1)有一个角是直角的菱形是正方形;
(2)一组邻边相等的矩形是正方形;
(3)对角线相等的菱形是正方形;
(4)对角线互相垂直的矩形是正方形;
(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;
(6)四条边都相等,四个角都是直角的四边形是正方形.
【典型例题】
类型一、平行四边形
1、已知,△ABC中,∠BAC=45°
,以AB为腰以点B为直角顶点在△ABC外部作等腰直角三角形ABD,以AC为斜边在△ABC外部作等腰直角三角形ACE,连结BE、DC,两条线段相交于点F,试猜想∠EFC的度数并说明理由.
【答案与解析】
解法一:
作DH//BE交EA延长线于H,连接CH
易证四边形BEHD为平行四边形
解法二:
作CG//BE交AB的延长线于G,连接DG,
∵△ABC与△ACE都是等腰直角三角形,
∴∠EAB=∠CAE+∠CAB=90°
.
又∠AEC=90°
,
∴AB∥CE.
∴四边形BECG为平行四边形,
∴CE=GB,又AE=EC,
∴GB=AE.
在△BGD与△AEB中,
DB=AB,∠DBG=∠BAE=90°
,GB=AE,
∴,
∴∠GDB=∠ABE,BE=DG.
∵平行四边形BGCE,
∴∠ABE=∠AGC,BE=GC,
∴∠GDB=∠AGC,GC=DG.
∴∠DGC=∠DGA+∠AGC=∠DGA+∠GDB=90°
于是是等腰直角三角形,
所以.
【总结升华】通过做平行线,构造平行四边形,再证明全等,使问题得解.
类型二、菱形
2、如图,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=1,BC=.对角线AC,BD相交于点O,将直线AC绕点O顺时针旋转,分别交BC,AD于点E,F.
(1)证明:
当旋转角为90°
时,四边形ABEF是平行四边形;
(2)试说明在旋转过程中,线段AF与EC总保持相等;
(3)在旋转过程中,四边形BEDF可能是菱形吗?
如果不能,请说明理由;
如果能,说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数.
【思路点拨】
(1)当旋转角为90°
时,∠AOF=90°
,由AB⊥AC,可得AB∥EF,即可证明四边形ABEF为平行四边形;
(2)证明△AOF≌△COE即可;
(3)当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形,又由AB⊥AC,AB=1,BC=,易求得OA=AB,即可得∠AOB=45°
,求得∠AOF=45°
,则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°
.
当∠AOF=90°
时,AB∥EF,
又AF∥BE,
∴四边形ABEF为平行四边形.
(2)证明:
四边形ABCD为平行四边形,
∴AO=CO,∠FAO=∠ECO,∠AOF=∠COE.
∴△AOF≌△COE
∴AF=CE
(3)四边形BEDF可以是菱形.
理由:
如图,连接BF,DE,
由
(2)知△AOF≌△COE,得OE=OF,
∴EF与BD互相平分.
∴当EF⊥BD时,四边形BEDF为菱形.
在Rt△ABC中,,
∴OA=1=AB,又AB⊥AC,∴∠AOB=45°
,
∴∠AOF=45°
∴AC绕点O顺时针旋转45°
时,四边形BEDF为菱形.
【总结升华】要证明四边形是菱形,先证明这个四边形是平行四边形,再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.
举一反三:
【变式】已知:
如图所示,BD是△ABC的角平分线,EF是BD的垂直平分线,且交AB于E,交BC于点F.求证:
四边形BFDE是菱形.
【答案】
证明:
∵EF是BD的垂直平分线,
∴EB=ED,∠EBD=∠EDB.
又∵∠EBD=∠FBD,
∴∠FBD=∠EDB,ED∥BF.同理,DF∥BE,
∴四边形BFDE是平行四边形.
又∵EB=ED,
∴四边形BFDE是菱形.
3、在口ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=2AB,点E、F分别是OA、BC的中点.连接BE、EF.
(1)求证:
EF=BF;
(2)在上述条件下,若AC=BD,G是BD上一点,且BG:
GD=3:
1,连接EG、FG,试判断四边形EBFG的形状,并证明你的结论.
(1)根据平行四边形性质推出BD=2BO,推出AB=BO,根据三线合一定理得出BE⊥AC,在△BEC中,根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF即可;
(2)根据矩形性质和已知求出G为OD中点,根据三角形中位线求出EG∥AD,EG=BC,求出EG∥BC,EG=BC,求出BF=EG,BF∥EG,EG=GF,得出平行四边形,根据菱形的判定推出即可.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BD=2BO,
∵BD=2AB,
∴AB=BO,
∵E为OA中点,
∴BE⊥AC,
∴∠BEC=90°
∵F为BC中点,
∴EF=BF=CF,
即EF=BF;
(2)四边形EBFG是菱形,
连接CG,
∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AB=CD,AD∥BC,BD=2BO=2OD,
∴BD=2AB=2CD,
∴OC=CD,
∵BG:
1,OB=OD,
∴G为OD中点,
∴CG⊥OD(三线合一定理),
即∠CGB=90°
∴GF=BC=AD,
∵E为OA中点,G为OD中点,
∴EG∥AD,EG=AD,
∴EG∥BC,EG=BC,
∴BF=BC,EG=GF,
即EG∥BF,EG=BF,
∴四边形EBFG是平行四边形,
∵EG=GF,
∴平行四边形EBFG是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).
【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定,矩形性质,菱形性质,三角形的中位线,直角三角形斜边上中线性质,等腰三角形的性质等知识点,主要考查学生综合运用定理进行推理的能力,注意:
直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.
类型三、矩形
4、如图1,已知AB∥CD,AB=CD,∠A=∠D.
四边形ABCD为矩形;
(2)E是AB边的中点,F为AD边上一点,∠DFC=2∠BCE.
①如图2,若F为AD中点,DF=1.6,求CF的长度:
②如图2,若CE=4,CF=5,则AF+BC= ,AF= .
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD为平行四边形,
∵∠A=∠D,∠A+∠D=180°
∴∠A=90°
∴四边形ABCD为矩形,
(2)解:
①延长DA,CE交于点G,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=∠B=90°
,AD∥BC,
∴∠GAE=90°
,∠G=∠ECB,
∵E是AB边的中点,
∴AE=BE,
在△AGE和△BCE中,,
∴△AGE≌△BCE(AAS),
∴AG=BC,
∵DF=1.6,F为AD中点,
∴BC=3.2,
∴AG=BC=3.2,∴FG=3.2+1.6=4.8,
∵AD∥BC,
∴∠DFC=∠BCF,
∵∠DFC=2∠BCE,
∴∠BCE=∠FCE,
∴∠BCE=∠G,
∴CF=FG=4.8;
②若CE=4,CF=5,由①得:
AG=BC,CF=FG,GE=CE=4,AG=AD,
∴CG=8,AF+BC=AF+AG=FG=CF=5;
故答案为:
5;
设DF=x,
根据勾股定理得:
CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2,
即52﹣x2=82﹣(5+x)2,
解得:
x=,
∴DG=5+=,
∴AD=DG=,
∴AF=AD﹣DF=;
【总结升华】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用;
本题有一定难度.
【变式】如图,O为△ABC内一点,把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG.
(1)四边形DEFG是什么四边形,请说明理由;
(2)若四边形DEFG是矩形,点0所在位置应满足什么条件?
说明理由.
解:
(1)四边形DEFG是平行四边形.理由如下:
∵D、G分别是AB、AC的中点,
∴DG是△ABC的中位线;
∴DG∥BC,且DG=BC;
同理可证:
EF∥BC,且EF=BC;
∴DG∥EF,且DG=EF;
故四边形DEFG是平行四边形;
(2)O在BC边的高上且A和垂足除外.理由如下:
连接OA;
同
(1)可证:
DE∥OA∥FG;
∵四边形DEFG是矩形,
∴DG⊥DE;
∴OA⊥BC;
即O点在BC边的高上且A和垂足除外.
5、在Rt△ABC中,∠ACB=90°
,BC=4.过点A作AE⊥AB且AB=AE,过点E分别作EF⊥AC,ED⊥BC,分别交AC和BC的延长线与点F,D.若FC=5,求四边形ABDE的周长.