九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形全章复习与巩固知识讲解及例题演练北师大版Word文档下载推荐.docx

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（6）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形；

对角线：

（7）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

要点诠释：

平行线的性质：

（1）平行线间的距离都相等；

（2）等底等高的平行四边形面积相等.

要点二、菱形

1.定义：

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

（1）具有平行四边形的一切性质；

（2）四条边相等；

（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

（4）中心对称图形，轴对称图形.

（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

（3）四边相等的四边形是菱形.

要点三、矩形

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

（1）具有平行四边形的所有性质；

（2）四个角都是直角；

（3）对角线互相平分且相等；

４．判定：

（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（2）对角线相等的平行四边形是矩形.

（3）有三个角是直角的四边形是矩形.

由矩形得直角三角形的性质：

（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半．

要点四、正方形

四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.

（1）对边平行；

（2）四个角都是直角；

（3）四条边都相等；

（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；

（5）两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；

（6）中心对称图形，轴对称图形.

边长×

边长＝×

对角线×

对角线

（1）有一个角是直角的菱形是正方形；

（2）一组邻边相等的矩形是正方形；

（3）对角线相等的菱形是正方形；

（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；

（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.

【典型例题】

类型一、平行四边形

1、已知，△ABC中，∠BAC=45°

，以AB为腰以点B为直角顶点在△ABC外部作等腰直角三角形ABD，以AC为斜边在△ABC外部作等腰直角三角形ACE，连结BE、DC，两条线段相交于点F，试猜想∠EFC的度数并说明理由．

【答案与解析】

解法一：

作DH//BE交EA延长线于H，连接CH

易证四边形BEHD为平行四边形

解法二：

作CG//BE交AB的延长线于G，连接DG，

∵△ABC与△ACE都是等腰直角三角形，

∴∠EAB=∠CAE+∠CAB=90°

.

又∠AEC=90°

，

∴AB∥CE.

∴四边形BECG为平行四边形，

∴CE=GB，又AE=EC，

∴GB=AE.

在△BGD与△AEB中，

DB=AB，∠DBG=∠BAE=90°

，GB=AE，

∴，

∴∠GDB=∠ABE，BE=DG.

∵平行四边形BGCE,

∴∠ABE=∠AGC，BE=GC,

∴∠GDB=∠AGC,GC=DG.

∴∠DGC=∠DGA+∠AGC=∠DGA+∠GDB=90°

于是是等腰直角三角形，

所以.

【总结升华】通过做平行线，构造平行四边形，再证明全等，使问题得解．

类型二、菱形

2、如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.

（1）证明：

当旋转角为90°

时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？

如果不能，请说明理由；

如果能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

【思路点拨】

（1）当旋转角为90°

时，∠AOF=90°

，由AB⊥AC，可得AB∥EF，即可证明四边形ABEF为平行四边形；

（2）证明△AOF≌△COE即可；

（3）当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，又由AB⊥AC，AB=1，BC=，易求得OA=AB，即可得∠AOB=45°

，求得∠AOF=45°

，则可得此时AC绕点O顺时针旋转的最小度数为45°

．

当∠AOF＝90°

时，AB∥EF，

又AF∥BE，

∴四边形ABEF为平行四边形．

（2）证明：

四边形ABCD为平行四边形，

∴AO＝CO，∠FAO＝∠ECO，∠AOF＝∠COE.

∴△AOF≌△COE

∴AF＝CE

（3）四边形BEDF可以是菱形．

理由：

如图，连接BF，DE，

由

（2）知△AOF≌△COE，得OE＝OF，

∴EF与BD互相平分．

∴当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形．

在Rt△ABC中，，

∴OA＝1＝AB，又AB⊥AC，∴∠AOB＝45°

，

∴∠AOF＝45°

∴AC绕点O顺时针旋转45°

时，四边形BEDF为菱形．

【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.

举一反三：

【变式】已知:

如图所示，BD是△ABC的角平分线，EF是BD的垂直平分线，且交AB于E，交BC于点F.求证:

四边形BFDE是菱形.

【答案】

证明：

∵EF是BD的垂直平分线，

∴EB=ED，∠EBD=∠EDB.

　　　又∵∠EBD=∠FBD，

∴∠FBD=∠EDB，ED∥BF.同理，DF∥BE，

　　∴四边形BFDE是平行四边形.

　　又∵EB=ED，

∴四边形BFDE是菱形.

3、在口ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=2AB，点E、F分别是OA、BC的中点．连接BE、EF．

（1）求证：

EF=BF；

（2）在上述条件下，若AC=BD，G是BD上一点，且BG：

GD=3：

1，连接EG、FG，试判断四边形EBFG的形状，并证明你的结论．

（1）根据平行四边形性质推出BD=2BO，推出AB=BO，根据三线合一定理得出BE⊥AC，在△BEC中，根据直角三角形斜边上中线性质求出EF=BF=CF即可；

（2）根据矩形性质和已知求出G为OD中点，根据三角形中位线求出EG∥AD，EG=BC，求出EG∥BC，EG=BC，求出BF=EG，BF∥EG，EG=GF，得出平行四边形，根据菱形的判定推出即可．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BD=2BO，

∵BD=2AB，

∴AB=BO，

∵E为OA中点，

∴BE⊥AC，

∴∠BEC=90°

∵F为BC中点，

∴EF=BF=CF，

即EF=BF；

（2）四边形EBFG是菱形，

连接CG，

∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，

∴四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，BD=2BO=2OD，

∴BD=2AB=2CD，

∴OC=CD，

∵BG：

1，OB=OD，

∴G为OD中点，

∴CG⊥OD（三线合一定理），

即∠CGB=90°

∴GF=BC=AD，

∵E为OA中点，G为OD中点，

∴EG∥AD，EG=AD，

∴EG∥BC，EG=BC，

∴BF=BC，EG=GF，

即EG∥BF，EG=BF，

∴四边形EBFG是平行四边形，

∵EG=GF，

∴平行四边形EBFG是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．

【总结升华】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形性质，菱形性质，三角形的中位线，直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力，注意：

直角三角形斜边上中线等于斜边的一半．

类型三、矩形

4、如图1，已知AB∥CD，AB=CD，∠A=∠D．

四边形ABCD为矩形；

（2）E是AB边的中点，F为AD边上一点，∠DFC=2∠BCE．

①如图2，若F为AD中点，DF=1.6，求CF的长度：

②如图2，若CE=4，CF=5，则AF+BC=　　，AF=　．

∵AB∥CD，AB=CD，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∵∠A=∠D，∠A+∠D=180°

∴∠A=90°

∴四边形ABCD为矩形，

（2）解：

①延长DA，CE交于点G，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=∠B=90°

，AD∥BC，

∴∠GAE=90°

，∠G=∠ECB，

∵E是AB边的中点，

∴AE=BE，

在△AGE和△BCE中，，

∴△AGE≌△BCE（AAS），

∴AG=BC，

∵DF=1.6，F为AD中点，

∴BC=3.2，

∴AG=BC=3.2，∴FG=3.2+1.6=4.8，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠BCF，

∵∠DFC=2∠BCE，

∴∠BCE=∠FCE，

∴∠BCE=∠G，

∴CF=FG=4.8；

②若CE=4，CF=5，由①得：

AG=BC，CF=FG，GE=CE=4，AG=AD，

∴CG=8，AF+BC=AF+AG=FG=CF=5；

故答案为：

5；

设DF=x，

根据勾股定理得：

CD2=CF2﹣DF2=CG2﹣DG2，

即52﹣x2=82﹣（5+x）2，

解得：

x=，

∴DG=5+=，

∴AD=DG=，

∴AF=AD﹣DF=；

【总结升华】本题考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理的运用；

本题有一定难度.

【变式】如图，O为△ABC内一点，把AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连接形成四边形DEFG．

（1）四边形DEFG是什么四边形，请说明理由；

（2）若四边形DEFG是矩形，点0所在位置应满足什么条件？

说明理由．

解：

（1）四边形DEFG是平行四边形．理由如下：

∵D、G分别是AB、AC的中点，

∴DG是△ABC的中位线；

∴DG∥BC，且DG＝BC；

同理可证：

EF∥BC，且EF＝BC；

∴DG∥EF，且DG＝EF；

故四边形DEFG是平行四边形；

（2）O在BC边的高上且A和垂足除外．理由如下：

连接OA；

同

（1）可证：

DE∥OA∥FG；

∵四边形DEFG是矩形，

∴DG⊥DE；

∴OA⊥BC；

即O点在BC边的高上且A和垂足除外．

5、在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，BC=4．过点A作AE⊥AB且AB=AE，过点E分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC和BC的延长线与点F，D．若FC=5，求四边形ABDE的周长．