高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程104直线与圆锥曲线的位置关系课时练理082901119Word格式.docx

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＝，

由于点A，C都在双曲线上，故有

－＝1，－＝1，两式相减，得－＝0，所以k1k2＝＝>

0.则＋ln|k1|＋ln|k2|＝＋ln（k1k2），对于函数y＝＋lnx（x>

0）利用导数法可以得到当x＝2时，函数y＝＋lnx（x>

0）取得最小值．故当＋ln|k1|＋ln|k2|取得最小值时，k1k2＝＝2，所以e＝＝，故选B.

3．[2016·

衡水二中猜题]斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（　　）

A．2B.

C.D.

解析　设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），直线l的方程为y＝x＋t，由消去y，

得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0.

Δ＝（2t）2－5（t2－1）>

0，即t2<

5.

则x1＋x2＝－t，x1x2＝.

∴|AB|＝|x1－x2|＝·

＝·

当t＝0时，|AB|max＝.

4.[2016·

衡水二中一轮检测]直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，则k的值是________．

答案　2

解析　设A（x1，y1）、B（x2，y2），由

消去y得k2x2－4（k＋2）x＋4＝0，

由题意得

∴即k＝2.

5．[2016·

冀州中学周测]已知两定点M（－1,0），N（1,0），若直线上存在点P，使|PM|＋|PN|＝4，则该直线为“A型直线”．给出下列直线，其中是“A型直线”的是________（填序号）．

①y＝x＋1；

②y＝2；

③y＝－x＋3；

④y＝－2x＋3.

答案　①④

解析　由题意可知，点P的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，其方程是＋＝1，

①把y＝x＋1代入＋＝1并整理得，7x2＋8x－8＝0，

∵Δ＝82－4×

7×

（－8）>

0，直线与椭圆有两个交点，

∴y＝x＋1是“A型直线”．

②把y＝2代入＋＝1，得＝－不成立，直线与椭圆无交点，∴y＝2不是“A型直线”．

③把y＝－x＋3代入＋＝1并整理得，7x2－24x＋24＝0，Δ＝（－24）2－4×

24<

0，∴y＝－x＋3不是“A型直线”．

④把y＝－2x＋3代入＋＝1并整理得，19x2－48x＋24＝0，∵Δ＝（－48）2－4×

19×

24>

0，∴y＝－2x＋3是“A型直线”．

6．[2016·

冀州中学热身]已知焦点在y轴上的椭圆C1：

＋＝1经过点A（1,0），且离心率为.

（1）求椭圆C1的方程；

（2）过抛物线C2：

y＝x2＋h（h∈R）上点P的切线与椭圆C1交于两点M、N，记线段MN与PA的中点分别为G、H，当GH与y轴平行时，求h的最小值．

解　

（1）由题意可得

解得a＝2，b＝1，

所以椭圆C1的方程为＋x2＝1.

（2）设P（t，t2＋h），由y′＝2x，

得抛物线C2在点P处的切线斜率为k＝y′|x＝t＝2t，

所以MN的方程为y＝2tx－t2＋h，

代入椭圆方程得4x2＋（2tx－t2＋h）2－4＝0，

化简得4（1＋t2）x2－4t（t2－h）x＋（t2－h）2－4＝0.

又MN与椭圆C1有两个交点，故

Δ＝16[－t4＋2（h＋2）t2－h2＋4]>

0，①

设M（x1，y1），N（x2，y2），MN中点的横坐标为x0，则

x0＝＝，

设线段PA中点的横坐标为x3＝，

由已知得x0＝x3，即＝，②

显然t≠0，所以h＝－，③

当t>

0时，t＋≥2，当且仅当t＝1时取等号，此时h≤－3，不满足①式，故舍去；

当t<

0时，（－t）＋≥2，当且仅当t＝－1时取等号，此时h≥1，满足①式．

综上，h的最小值为1.

7.[2016·

枣强中学周测]已知圆O：

x2＋y2＝，直线l：

y＝kx＋m与椭圆C：

＋y2＝1相交于P、Q两点，O为原点．

（1）若直线l过椭圆C的左焦点，与圆O交于A、B两点，且∠AOB＝60°

，求直线l的方程；

（2）若△POQ的重心恰好在圆上，求m的取值范围．

解　

（1）左焦点坐标为F（－1,0），设直线l的方程为y＝k（x＋1），由∠AOB＝60°

，得圆心O到直线l的距离d＝，又d＝，∴＝，解得k＝±

.

∴直线l的方程为y＝±

（x＋1）．

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由

得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－2＝0.

由Δ>

0得1＋2k2>

m2①，且x1＋x2＝－.

∵△POQ的重心恰好在圆x2＋y2＝上，

∴（x1＋x2）2＋（y1＋y2）2＝4，

即（x1＋x2）2＋[k（x1＋x2）＋2m]2＝4，

即（1＋k2）（x1＋x2）2＋4km（x1＋x2）＋4m2＝4.

∴－＋4m2＝4，

化简得m2＝，

代入①式得2k2>

0，∴k≠0，

又m2＝＝1＋＝1＋.

∵k≠0，∴m2>

1，∴m>

1或m<

－1.

8．[2016·

冀州中学预测]已知F1、F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，离心率等于的椭圆E与双曲线x2－＝1的焦点相同，动点P（m，n）满足|PF1|＋|PF2|＝10，曲线M的方程为＋＝1.

（1）求椭圆E的方程；

（2）判断直线mx＋ny＝1与曲线M的公共点的个数，并说明理由；

当直线mx＋ny＝1与曲线M相交时，求直线mx＋ny＝1截曲线M所得弦长的取值范围．

解　

（1）∵F1、F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，

∴不妨设F1（－4,0），F2（4,0）．

∵椭圆E与双曲线x2－＝1的焦点相同，

∴设椭圆E的方程为＋＝1（a>

b>

0），

根据已知得解方程组得

∴椭圆E的方程为＋＝1.

（2）∵动点P（m，n）满足|PF1|＋|PF2|＝10，

∴P（m，n）是椭圆E上的点．∴＋＝1.

∵＋≤＋＝，∴m2＋n2≥9.

∵曲线M是圆心为（0,0），半径r＝的圆，

圆心（0,0）到直线mx＋ny＝1的距离d＝≤<

，∴直线mx＋ny＝1与曲线M有两个公共点．

设直线mx＋ny＝1截曲线M所得弦长为l，则l＝2.

∵＋≤＋＝1，

∴m2＋n2≤25.∴9≤m2＋n2≤25.

∴≤≤，∴≤2－≤.

∴≤≤.

∴≤l≤.

∴直线mx＋ny＝1截曲线M所得弦长的取值范围为.

9．[2016·

衡水二中期中]如图所示，已知抛物线C：

y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点．

（1）若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；

（2）若线段|AB|＝20，求直线l的方程．

解　

（1）由已知得焦点坐标为F（1,0）．因为线段AB的中点在直线y＝2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x0，y0），

则由得

（y1＋y2）（y1－y2）＝4（x1－x2），所以2y0k＝4.

又y0＝2，所以k＝1，故直线l的方程是y＝x－1.

（2）设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线方程联立得消元得y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，Δ＝16（m2＋1）>

0.

|AB|＝|y1－y2|

＝4（m2＋1）．

所以4（m2＋1）＝20，解得m＝±

2，

所以直线l的方程是x＝±

2y＋1，

即x±

2y－1＝0.

10．[2016·

枣强中学模拟]已知点A、B的坐标分别是（－1,0）、（1,0）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－2.

（1）求动点M的轨迹方程；

（2）若过点N的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且N为线段CD的中点，求直线l的方程．

解　

（1）设M（x，y）．

因为kAM·

kBM＝－2，所以·

＝－2（x≠±

1），

化简得2x2＋y2＝2（x≠±

1），即为动点M的轨迹方程．

（2）设C（x1，y1），D（x2，y2）．

当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x＝，则C，D，此时线段CD的中点不是点N，不合题意．

故设直线l的方程为y－1＝k.

将C（x1，y1），D（x2，y2）代入2x2＋y2＝2（x≠±

1），得

2x＋y＝2，①

2x＋y＝2.②

①－②整理得k＝＝－＝－＝－1.

所以直线l的方程为y－1＝－，

即2x＋2y－3＝0.

11．[2016·

衡水二中期末]已知定点G（－3,0），S是圆C：

（x－3）2＋y2＝72上的动点，SG的垂直平分线与SC交于点E，设点E的轨迹为M.

（1）求M的方程；

（2）是否存在斜率为1的直线l，使得l与曲线M相交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过原点？

若存在，求出直线l的方程；

若不存在，请说明理由．

解　

（1）由题意，知|EG|＝|ES|，∴|EG|＋|EC|＝|ES|＋|EC|＝6，

又|GC|＝6<

6，∴点E的轨迹是以G，C为焦点，长轴长为6的椭圆．

故动点E的轨迹M的方程为＋＝1.

（2）假设存在符合题意的直线l与椭圆M相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其方程为y＝x＋m，

由消去y，化简得3x2＋4mx＋2m2－18＝0.

∵直线l与椭圆M相交于A，B两点，

∴Δ＝16m2－12（2m2－18）>

0，

化简得m2<

27，解得－3<

m<

3，

∴x1＋x2＝－，x1x2＝.

∵以线段AB为直径的圆恰好经过原点，

∴·

＝0，∴x1x2＋y1y2＝0，

又y1y2＝（x1＋m）（x2＋m）＝x1x2＋m（x1＋x2）＋m2，

∴x1x2＋y1y2＝2x1x2＋m（x1＋x2）＋m2＝－＋m2＝0，

解得m＝±

2，由于±

2∈（－3，3），

∴符合题意的直线l存在，所求的直线l的方程为

y＝x＋2或y＝x－2.

12．[2016·

武邑中学猜题]已知椭圆C：

＋＝1（a>

0）的离心率为，F为椭圆在x轴正半轴上的焦点，M，N两点在椭圆C上，且＝λ（λ>

0），定点A（－4,0）．

（1）求证：

当λ＝1时，⊥；

（2）若当λ＝1时有·

＝，求椭圆C的方程；

（3）在

（2）的条件下，M，N两点在椭圆C上运动，当·

·

tan∠MAN的值为6时，求出直线MN的方程．

解　

（1）证明：

设M（x1，y1），N（x2，y2），F（c,0），

则＝（c－x1，－y1），＝（x2－c，y2），

当λ＝1时，＝，∴－y1＝y2，x1＋x2＝2c，

由M，N两点在椭圆上，

∴x＝a2，x＝a2，∴x＝x.

若x1＝－x2，则x1＋x2＝0≠2c（舍去），

∴x1＝x2，

∴＝（0,2y2），＝（c＋4,0），·

＝0，

∴⊥.

（2）当λ＝1时，不妨设M，N，

＝（c＋4）2－＝，∵＝.

∴a2＝c2，b2＝，

∴c2＋8c＋16＝，

∴c＝2，a2＝6，b