八年级几何证明题集锦及解答值得收藏之令狐采学创编Word文档下载推荐.docx
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解:
垂直.
理由:
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABD=∠CBD,AB=BC,
∵BF=BF,
∴△ABF≌△CBF,
∴∠BAF=∠BCF,
∵在RT△ABE和△DCE中,AE=DE,AB=DC,
∴RT△ABE≌△DCE,
∴∠BAE=∠CDE,
∴∠BCF=∠CDE,∵∠CDE+∠DEC=90°
∴∠BCF+∠DEC=90°
∴DE⊥CF.
3.如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90º
,AB=AD,DE⊥CD交AB于E,DF平分∠CDE交BC于F,连接EF.证明:
CF=EF
过D作DG⊥BC于G.
由已知可得四边形ABGD为正方形,
∵DE⊥DC
∴∠ADE+∠EDG=90°
=∠GDC+∠EDG,
∴∠ADE=∠GDC.
又∵∠A=∠DGC且AD=GD,
∴△ADE≌△GDC,
∴DE=DC且AE=GC.
在△EDF和△CDF中∠EDF=∠CDF,DE=DC,DF为公共边,∴△EDF≌△CDF,
∴EF=CF
4.已知:
在⊿ABC中,∠A=900,AB=AC,D是AC的中点,AE⊥BD,AE延长线交BC于F,求证:
∠ADB=∠FDC。
过点C作CG⊥CA交AF延长线于G
∴∠G+∠GAC=90°
…………①
又∵AE⊥BD
∴∠BDA+∠GAC=90°
…………②
综合①②,∠G=∠BDA
在△BDA与△AGC中,
∵∠G=∠BDA
∠BAD=∠ACG=90°
BA=CA
∴△BDA≌△AGC
∴DA=GC
∵D是AC中点,∴DA=CD
∴GC=CD
由∠1=45°
,∠ACG=90°
,故∠2=45°
=∠1
在△GCF与△DCF中,
∵GC=CD
∠2=45°
CF=CF
∴△GCF≌△DCF
∴∠G=∠FDC,又∠G=∠BDA
∴∠ADB=∠FDC
5.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,BC=CD,O是BD的中点,E是CD延长线上一点,作OF⊥OE交DA的延长线于F,OE交AD于H,OF交AB于G,FO的延长线交CD于K,求证:
OE=OF
提示:
由条件知△BCD为等腰Rt△,连接OC,可证△OCK≌△ODH(AAS),得OK=OH,再证△FOH≌△EOK(AAS),得OE=OF
6.如图,在正方形ABCD的边BC上任取一点M,过点C作CN⊥DM交AB于N,设正方形对角线交点为O,试确定OM与ON之间的关系,并说明理由.
∵四边形ABCD是正方形,
∴DC=BC,∠DCM=∠NBC=90°
又∵CN⊥DM交AB于N,
∴∠NCM+∠CMD=90°
而∠CMD+∠CDM=90°
∴∠NCM=∠CDM,
∴△DCM≌△CBN,
∴CM=BN,
再根据四边形ABCD是正方形可以得到
OC=OB,∠OCM=∠OBN=45°
∴△OCM≌△OBN.
∴OM=ON,∠COM=∠BON,而∠COM+∠MOB=90°
∴∠BON+∠MOB=90°
.
∴∠MON=90°
∴OM与ON之间的关系是OM=ON;
OM⊥ON.
7.如图,正方形CGEF的对角线CE在正方形ABCD的边BC的延长线上(CG>BC),M是线段AE的中点,DM的延长线交CE于N.
探究:
线段MD、MF的关系,并加以证明.
根据题意,知AD∥BC.
∴∠EAD=∠AEN(内错角相等),
∵∠DMA=∠NME(对顶角相等),
又∵M是线段AE的中点,
∴AM=ME.
∴△ADM≌△ENM(ASA).
∴AD=NE,DM=MN.(对应边相等).
连接线段DF,线段FN,
线段CE是正方形的对角线,∠DCF=∠NEF=45°
根据上题可知线段AD=NE,
又∵四边形CGEF是正方形,
∴线段FC等于FE.
∴△DCF≌△NEF(SAS).
∴线段FD=FN.
∴△FDN是等腰三角形.
∴线段MD⊥线段MF.
8.如图,△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°
的等腰三角形,以D为顶点作一个60°
角∠NDM,角的两边分别交AB、AC边于M、N两点,连接MN.试探究BM、MN、CN之间的数量关系,并加以证明.
BM+CN=NM
延长AC至E,使CE=BM,连接DE,
∵△BDC是顶角∠BDC=120°
的等腰三角形,△ABC是等边三角形,
∴∠BCD=30°
∴∠ABD=∠ACD=90°
∵DB=DC,CE=BM,
∴△DCE≌△BMD,
∵∠MDN=∠NDE=60°
∴DM=DE(上面已经全等)
∴DN=ND(公共边)
∴△DMN≌△DEN∴BM+CN=NM
9.如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°
.E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:
AD+CD=DE;
∵AC=BC,∠ACB=90°
∴∠CAB=∠ABC=45°
∵∠CAD=∠CBD=15°
∴∠BAD=∠ABD=30°
∴AD=BD.
在DE上截取DM=DC,连接CM,
∵AD=BD,AC=BC,DC=DC,
∴△ACD≌△BCD.
∴∠ACD=∠BCD=45°
∵∠CAD=15°
∴∠EDC=60°
∵DM=DC,
∴△CMD是等边三角形.
∴∠CDA=∠CME=120°
∵CE=CA,
∴∠E=∠CAD.
∴△CAD≌△CEM.
∴ME=AD.
∴DA+DC=ME+MD=DE.
即AD+CD=DE.
10.如图,在正方形ABCD中,F是CD的中点,E是BC边上的一点,且AF平分∠DAE,求证:
AE=EC+CD.
∵AF平分∠DAE,∠D=90°
,FH⊥AE,
∴∠DAF=∠EAF,FH=FD,
在△AHF与△ADF中,
∵AF为公共边,∠DAF=∠EAF,FH=FD(角平分线上的到角的两边距离相等),
∴△AHF≌△ADF(HL).
∴AH=AD,HF=DF.
又∵DF=FC=FH,FE为公共边,
∴△FHE≌△FCE.
∴HE=CE.
∵AE=AH+HE,AH=AD=CD,HE=CE,
∴AE=EC+CD.
11.已知梯形ABCD中,AB∥CD,BD⊥AC于E,AD=BC,AC=AB,DF⊥AB于F,AC、DF相交于DF的中点O.
AB+CD=2BE.
过D作DM∥AC交BA的延长线于M.
∵梯形ABCS中,AD=BC,
∴BD=AC.
又∵CD∥AM,DM∥AC,
∴四边形CDMA为平行四边形.
∴DM=AC,CD=AM.
∵MD∥AC,又AC⊥BD,且AC=BD,
∴DM⊥BD,DM=BD,
∴△DMB为等腰直角三角形.
又∵DF⊥BM,
∴DF=BF.
∴BM=2DF=2BF
∴AM+AB=2BF.
∵CD=AM,
∴AB+CD=2BF.
∵AC=BD=AB,
∴在△BEA和△BFD中,△BEA≌△BFD.
∴BE=BF.
∵AB+CD=2BF,
∴AB+CD=2BE.
12.已知:
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于点E.
AD=DE.
(1)∵CF平分∠BCD,
∴∠BCF=∠DCF.
在△BFC和△DFC中,
∴△BFC≌△DFC.
∴BF=DF,∴∠FBD=∠FDB.
连接BD.
∵DF∥AB,
∴∠ABD=∠FDB.
∴∠ABD=∠FBD.
∴∠BDA=∠DBC.
∵BC=DC,
∴∠DBC=∠BDC.
∴∠BDA=∠BDC.
又BD是公共边,
∴△BAD≌△BED.
∴AD=DE.
13.如图,在直角梯形ABCD中,AD⊥DC,AB∥DC,AB=BC,AD与BC延长线交于点F,G是DC延长线上一点,AG⊥BC于E.
CF=CG;
连接AC,
∵DC∥AB,AB=BC,
∴∠1=∠CAB,∠CAB=∠2,
∴∠1=∠2;
∵∠ADC=∠AEC=90°
,AC=AC,
∴△ADC≌△AEC,
∴CD=CE;
∵∠FDC=∠GEC=90°
,∠3=∠4,
∴△FDC≌△GEC,
∴CF=CG.
14.如图,已知P为∠AOB的平分线OP上一点,PC⊥OA于C,PA=PB,求证AO+BO=2CO
过点P作PQ⊥OB于Q,则∠PQB=90°
∵OP平分∠AOB,且PC⊥OA,PQ⊥OB
∴PC=PQ
在Rt△POC与Rt△POQ中,
∵PC=PQ
PO=PO
∴Rt△POC≌Rt△POQ(HL)
∴OC=OQ
∴2OC=OC+OQ=OC+OB+BQ
在Rt△PCA与Rt△PQB中,
PA=PB
∴Rt△PCA≌Rt△PQB(HL)
∴CA=QB
又2OC=OC+OB+BQ
∴2OC=OC+OB+CA=OA+OB
15.已知:
如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°
,DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.求证:
BG=FG;
证明:
∵∠ABC=90°
,DE⊥AC于点F,
∴∠ABC=∠AFE.
∵AC=AE,∠EAF=∠CAB,
∴△ABC≌△AFE
∴AB=AF.
连接AG,
∵AG=AG,AB=AF,
∴Rt△ABG≌Rt△AFG.
∴BG=FG
16.如图,在平行四边形ABCD中,分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF,连接CE、CF,求证:
①△CDF≌△EBC;
②∠CDF=∠EAF;
③△ECF是等边△
∵△ABE、△ADF是等边三角形
∴FD=AD,BE=AB
∵AD=BC,AB=DC
∴FD=BC,BE=DC
∵∠B=∠D,∠FDA=∠ABE
∴∠CDF=∠EBC
∴△CDF≌△EBC,
∵AF=FD,AE=DC,EF=CF
∴△EAF≌△CDF
∴∠CDF=∠EAF,
∵∠AFC=∠AFE+∠EFD+∠DFC,∠AFE+∠EFD=60°
∴∠AFC∠DFC=60°
∴∠AFE=∠DFC
∴∠EFC=60°
同理,∠FEC=60°
∵CF=CE
∴△ECF是等边三角形
17.已知正方形ABCD中,F为对角线BD上一点,过F点作EF⊥BA于E,G为DF中点,连接EG,CG.求证:
EG=CG;
延长CG至M,使MG=CG,
连接MF,ME,EC,
在△DCG与△FMG中,
∵FG=DG,∠MGF=∠CGD,MG=CG,
∴△DCG≌△FMG.
∴MF=CD,∠FMG=∠DCG,