完整线性代数知识点总结汇总推荐文档docWord文件下载.docx
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7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式
数学归纳法证明
★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：
（三）按行（列）展开
9、按行展开定理：
（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值
（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0
（四）行列式公式
10、行列式七大公式：
（1）|kA|=kn|A|
（2）|AB|=|A|·
|B|
（3）|AT|=|A|
（4）|A-1|=|A|-1
（5）|A*|=|A|n-1
（6）若A的特征值λ1、λ2、λn，则
（7）若A与B相似，则|A|=|B|
（五）克莱姆法则
11、克莱姆法则：
（1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解
（2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0
（3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；
如果方程组有非零解，那么必有D=0。
2矩阵
（一）矩阵的运算
1、矩阵乘法注意事项：
（1）矩阵乘法要求前列后行一致；
（2）矩阵乘法不满足交换律；
（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，
（3）AB=O不能推出A=O或B=O。
2、转置的性质（5条）
（1）（A+B）T=AT+BT
（2）（kA）T=kAT
（3）（AB）T=BTAT
（4）|A|T=|A|
（5）（AT）T=A
（二）矩阵的逆
3、逆的定义：
AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1
注：
A可逆的充要条件是|A|≠0
4、逆的性质：
（5条）
（1）（kA）-1=1/k·
A-1（k≠0）
（2）（AB）-1=B-1·
A-1
（3）|A-1|=|A|-1
（4）（AT）-1=（A-1）T
（5）（A-1）-1=A
5、逆的求法：
（1）A为抽象矩阵：
由定义或性质求解
（2）A为数字矩阵：
（A|E）→初等行变换→（E|A-1）
（三）矩阵的初等变换
6、初等行（列）变换定义：
（1）两行（列）互换；
（2）一行（列）乘非零常数c
（3）一行（列）乘k加到另一行（列）
7、初等矩阵：
单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。
8、初等变换与初等矩阵的性质：
（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵
（2）初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij（i，j两行互换）；
Ei-1（c）=Ei（1/c）（第i行（列）乘c）
Eij-1（k）=Eij（-k）（第i行乘k加到j）
★（四）矩阵的秩
9、秩的定义：
非零子式的最高阶数
（1）r（A）=0意味着所有元素为0，即A=O
（2）r（An×
n）=n（满秩）←→|A|≠0←→A可逆；
r（A）＜n←→|A|=0←→A不可逆；
（3）r（A）=r（r=1、2、、n-1）←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。
10、秩的性质：
（7条）
（1）A为m×
n阶矩阵，则r（A）≤min（m,n）
（2）r（A±
B）≤r（A）±
（B）
（3）r（AB）≤min{r（A），r（B）}
（4）r（kA）=r（A）（k≠0）
（5）r（A）=r（AC）（C是一个可逆矩阵）
（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）
（7）设A是m×
n阶矩阵，B是n×
s矩阵，AB=O，则r（A）+r（B）≤n
（★（8）r（A*）=nr（A*）=1r（A*）=0
（（六）分块矩阵
11、秩的求法：
由定义或性质求解；
A→初等行变换→阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素
均为0），则r（A）=非零行的行数
（五）伴随矩阵
12、伴随矩阵的性质：
（8条）
（1）AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A-1
（2）（kA）*=kn-1A*
（3）（AB）*=B*A*
（4）|A*|=|A|n-1
（5）（AT）*=（A*）T
（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1
（7）（A*）*=|A|n-2·
A
（r（A）=n）；
（r（A）=n-1）；
（r（A）＜n-1）
13、分块矩阵的乘法：
要求前列后行分法相同。
14、分块矩阵求逆：
3向量
（一）向量的概念及运算
1、向量的内积：
（α，β）=αTβ=βTα
2、长度定义：
||α||=
3、正交定义：
（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2++anbn=0
4、正交矩阵的定义：
A为n阶矩阵，AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±
1
（二）线性组合和线性表示
5、线性表示的充要条件：
非零列向量β可由α1，α2，，αs线性表示
（1）←→非齐次线性方程组（α1，α2，，αs）（x1，x2，，xs）T=β有解。
★
（2）←→r（α1，α2，，αs）=r（α1，α2，，αs，β）（系数矩阵的秩等于
增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）
6、线性表示的充分条件：
（了解即可）
若α1，α2，，αs线性无关，α1，α2，，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，，αs线性表示。
7、线性表示的求法：
（大题第二步）
设α1，α2，，αs线性无关，β可由其线性表示。
（α1，α2，，αs|β）→初等行变换→（行最简形|系数）
行最简形：
每行第一个非0的数为1，其余元素均为0
（三）线性相关和线性无关
8、线性相关注意事项：
（1）α线性相关←→α=0
（2）α1，α2线性相关←→α1，α2成比例
9、线性相关的充要条件：
向量组α1，α2，，αs线性相关
（1）←→有个向量可由其余向量线性表示；
（2）←→齐次方程（α1，α2，，αs）（x1，x2，，xs）T=0有非零解；
★（3）←→r（α1，α2，，αs）＜s即秩小于个数
特别地，n个n维列向量α1，α2，，αn线性相关
（1）←→r（α1，α2，，αn）＜n
（2）←→|α1，α2，，αn|=0
（3）←→（α1，α2，，αn）不可逆
10、线性相关的充分条件：
（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关
（2）部分相关，则整体相关
（3）高维相关，则低维相关
（4）以少表多，多必相关
★推论：
n+1个n维向量一定线性相关
11、线性无关的充要条件
向量组α1，α2，，αs线性无关
（1）←→任意向量均不能由其余向量线性表示；
（2）←→齐次方程（α1，α2，，αs）（x1，x2，，xs）T=0只有零解
（3）←→r（α1，α2，，αs）=s
特别地，n个n维向量α1，α2，，αn线性无关
←→r（α1，α2，，αn）
=n
←→α1，α2，，αn
|
≠
←→矩阵可逆
12、线性无关的充分条件：
（1）整体无关，部分无关
（2）低维无关，高维无关
（3）正交的非零向量组线性无关
（4）不同特征值的特征向量无关
13、线性相关、线性无关判定
（1）定义法
★
（2）秩：
若小于阶数，线性相关；
若等于阶数，线性无关
【专业知识补充】
（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；
在矩阵右边乘行满
秩矩阵，矩阵的秩不变。
（2）若n维列向量α1，α2，α3线性无关，β1，β2，β3可以由其线性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，则r（β1，β2，β3）=r（C），从而线性无关。
←→r（β1，β2，β3）=3←→r（C）=3←→|C|≠0
（四）极大线性无关组与向量组的秩
14、极大线性无关组不唯一
15、向量组的秩:
极大无关组中向量的个数成为向量组的秩
对比：
矩阵的秩:
非零子式的最高阶数
★注:
向量组α1，α2，，αs的秩与矩阵A=（α1，α2，，αs）的秩相等
★16、极大线性无关组的求法
（1）α1，α2，，αs
（2）α1，α2，，αs
为抽象的：
定义法
为数字的：
（α1，α2，，αs）→初等行变换→阶梯型矩阵
则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组
（五）向量空间
17、基（就是极大线性无关组）变换公式：
若α1，α2，，αn与β1，β2，，βn是n维向量空间V的两组基，则基变换公式为（β1，β2，，βn）=（α1，α2，，αn）Cn×
n
其中，C是从基α1，α2，，αn到β1，β2，，βn的过渡矩阵。
C=（α1，α2，，αn）-1（β1，β2，，βn）
18、坐标变换公式：
向量γ在基α1，α2，，αn与基β1，β2，，βn的坐标分别为x=（x1，x2，，xn）T，y=（y1，y2，，yn）T，，即γ=x1α1+x2α2++xnαn=y1β1+y2β2++ynβn，则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。
其中，C是从基α1，α2，，αn到β1，β2，，βn的过渡矩阵。
C=（α1，α2，，αn）-1（β1，β2，，β
n）
（六）Schmidt正交化
19、Schmidt正交化
设α1，α2，α3线性无关
（1）正交化令β1=α1
（2）单位化
4线性方程组
（一）方程组的表达形与解向量
1、解的形式：
（1）一般形式
（2）矩阵形式：
Ax=b；
（3）
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