专题02 平面向量与复数命题猜想高考数学文命题猜想与仿真押题 Word版含答案解析.docx

专题02 平面向量与复数命题猜想高考数学文命题猜想与仿真押题 Word版含答案解析.docx

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专题02平面向量与复数命题猜想高考数学文命题猜想与仿真押题Word版含答案解析

【考向解读】

1.考查平面向量的基本定理及基本运算，预测多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题、难度中低档.

2.考查平面向量的数量积，预测以选择题、填空题为主，难度低；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、【解析】几何结合，以解答题形式出现.

【命题热点突破一】平面向量的线性运算

（1）在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；

（2）在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．

例1、【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（）

（A）－8（B）－6（C）6（D）8

【答案】D

【解析】向量，由得，解得，故选D.

【变式探究】

（1）设0<θ<，向量a＝（sin2θ，cosθ），b＝（cosθ，1），若a∥b，则tanθ＝______.

（2）如图，在△ABC中，AF＝AB，D为BC的中点，AD与CF交于点E.若＝a，＝b，且＝xa＋yb，则x＋y＝________.

【答案】

（1）　

（2）－

（2）如图，设FB的中点为M，连接MD.

因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MD∥CF.

因为AF＝AB，所以F为AM的中点，E为AD的中点．

【感悟提升】

（1）对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底；同时注意共线向量定理的灵活运用．

（2）运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．

【变式探究】

（1）已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n满足的条件是（　　）

A．m＋n＝1B．m＋n＝－1

C．mn＝1D．mn＝－1

（2）在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.

【答案】

（1）C　

（2）　－

【命题热点突破二】平面向量的数量积

（1）数量积的定义：

a·b＝|a||b|cosθ.

（2）三个结论

①若a＝（x，y），则|a|＝＝.

②若A（x1，y1），B（x2，y2），则

||＝.

③若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ为a与b的夹角，

则cosθ＝＝.

例2、【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是▲.

【答案】

【变式探究】

（1）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．

（2）在△AOB中，G为△AOB的重心，且∠AOB＝60°，若·＝6，则||的最小值是________．

【答案】

（1）22　

（2）2

【解析】

（1）由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以（＋

）·（－）＝2，即2－

·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.

（2）如图，在△AOB中，＝＝×（＋）

＝（＋），

又·＝||||·cos60°＝6，

∴||||＝12，

∴||2＝（＋）2＝（||2＋||2＋2·）＝（||2＋||2＋12）≥×（2||||＋12）＝×36＝4（当且仅当||＝||时取等号）．

∴||≥2，故||的最小值是2.

【感悟提升】

（1）数量积的计算通常有三种方法：

数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义；

（2）可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．

【命题热点突破三】平面向量与三角函数

平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．

例3、已知向量a＝（cosα，sinα），b＝（cosx，sinx），c＝（sinx＋2sinα，cosx＋2cosα），其中0<α

（1）若α＝，求函数f（x）＝b·c的最小值及相应x的值；

（2）若a与b的夹角为，且a⊥c，求tan2α的值．

此时sinx＋cosx＝－，

即sin＝－，

∵

∴x＋＝π，∴x＝.

∴函数f（x）的最小值为－，相应x的值为.

【感悟提升】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．

【变式探究】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c，已知·＝2，cosB＝，b＝3.求：

（1）a和c的值；

（2）cos（B－C）的值．

【解析】

（1）由·＝2得c·acosB＝2.

又cosB＝，所以ac＝6.

由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.

又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×＝13.

解得或

因为a>c，所以a＝3，c＝2.

【命题热点突破四】复数的概念与运算

复数运算的重点是除法运算，其关键是进行分母实数化，分子分母同时乘分母的共轭复数．对一些常见的运算，如（1±i）2＝±2i，＝i，＝－i等要熟记．

例4、【2016高考天津理数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.

【答案】2

【解析】由，可得，所以，，故【答案】为2．

【变式探究】

（1）若复数z＝，则|z|＝（　　）

A．B．

C．1D．2

（2）已知复数z＝（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

【答案】

（1）C　

（2）B　

【解析】

（1）z＝＝＝－i，，所以|z|＝＝1.

（2）z＝＝－1－i，则复数z＝－1＋i，对应的点在第二象限．

【高考真题解读】

1.【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（）

（A）－8（B）－6（C）6（D）8

【答案】D

【解析】向量，由得，解得，故选D.

2.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是▲.

【答案】

3.【2016年高考四川理数】在平面内，定点A，B，C，D满足==,===-2，动点P，M满足=1，=，则的最大值是（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】B

1.【2016新课标理】设其中,实数,则（）

（A）1（B）（C）（D）2

【答案】B

【解析】因为所以故选B.

2.【2016高考新课标3理数】若，则（）

（A）1（B）-1（C）（D）

【答案】C

【解析】，故选C．

3.【2016高考新课标2理数】已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】A

【解析】要使复数对应的点在第四象限应满足：

，解得，故选A.

4.【2016年高考北京理数】设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则_______________.

【答案】－1

【解析】，故填：

－1

5.【2016高考山东理数】若复数z满足其中i为虚数单位，则z=（）

（A）1+2i（B）12i（C）（D）

【答案】B

6.【2016高考天津理数】已知，i是虚数单位，若，则的值为_______.

【答案】2

【解析】由，可得，所以，，故【答案】为2．

7.【2016高考江苏卷】复数其中i为虚数单位，则z的实部是________________.

【答案】5

【解析】，故z的实部是5

1．（2015·新课标全国Ⅱ，2）若a为实数，且（2＋ai）（a－2i）＝－4i，则a＝（　　）

A．－1B．0C．1D．2

【答案】　B

【解析】　因为a为实数，且（2＋ai）（a－2i）＝4a＋（a2－4）i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B.

2．（2015·广东，2）若复数z＝i（3－2i）（i是虚数单位），则z＝（　　）

A．3－2iB．3＋2iC．2＋3iD．2－3i

【答案】　D

【解析】　因为z＝i（3－2i）＝2＋3i，所以z＝2－3i，故选D.

3．（2015·四川，2）设i是虚数单位，则复数i3－＝（　　）

A．－iB．－3iC．iD．3i

【答案】　C

【解析】　i3－＝－i－＝－i＋2i＝i.选C.

4．（2015·山东，2）若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝（　　）

A．1－iB．1＋iC．－1－iD．－1＋i

【答案】　A

【解析】　∵＝i，∴z＝i（1－i）＝i－i2＝1＋i，∴z＝1－i.

5．（2015·新课标全国Ⅰ，1）设复数z满足＝i，则|z|＝（　　）

A．1B.C.D．2

【答案】　A

6.【2015高考福建，理9】已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）

A．13B．15C．19D．21

【答案】A

【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此

，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．

7.【2015高考湖北，理11】已知向量，，则.

【答案】9

8.【2015高考山东，理4】已知菱形的边长为，,则（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】D

【解析】因为

故选D.

9.【2015高考陕西，理7】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确．故选B．

10.【2015高考四川，理7】设四边形ABCD为平行四边形，，.若点M，N满足，，则（）

（A）20（B）15（C）9（D）6

【答案】C

【解析】

11.【2015高考安徽，理8】是边长为的等边三角形，已知向量，满足，，则下列结论正确的是（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】D

【解析】如图，

由题意，，则，故错误；，所以，又，所以，故错误；设中点为，则，且，而，所以，故选D.

12.【2015高考福建，理9】已知，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（）

A．13B．15C．19D．21

【答案】A

【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此

，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．