方程的历史发展及其科学价值Word格式文档下载.docx

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方程的发展、《九章算术》、天元术、韦达、《分析方法引论》

前言：

中国古代是一个活着界上数学领先的国家，用近代科目来分类的话，可以看出不管在算术、代数、几何和三角各方而都十分发达.让先生了解有关数学史的常识，有助于帮忙他们更好的理解数学，数学不是他们认为的只是从定义和公理推导出来的一系列结论，而是有着丰富思想与独特发展规律的人类文明.

我们古代的方程在公元前一世纪的时候已有多元方程组、一元二次方程及不定方程几种.一元二次方程是借用几何图形而得到证实.不定方程的出此刻二千多年前的中国是一个值得看重的课题，这比我们此刻所熟知的希腊丢番图方程要早三百多年.对于三次方程，中国在公元七世纪的唐代王孝通“缉古算经”已有记载，用“从开立方除之”而求出数字解答（可惜原解法失传了），不难想象王孝通得到这类解法时的高兴程度，他说谁能改动他著作内的一个字可酬以千金.十一世纪的贾宪已发明了和霍纳（1786—1837）方法不异的数字方程解法，我们也不克不及健忘十三世纪中国数学家秦九韶在这方面的巨大贡献.活着界数学史上对方程的原始记载有着分歧的方式，但比较起来不克不及不推中国天元术的简洁明了.四元术是天元术发展的必定产品.级数是古老的东西，二千多年前的“周髀算经”和“九章算术”都谈到算术级数和几何级数.十四世纪初中国元朝朱世杰的级数计算应给予很高的评价，他的有些工作欧洲在十八、九世纪的著作内才有记录.12世纪是欧洲数学的大翻译时期.希腊人的著作从阿拉伯文翻译成拉丁文后，“在惊讶的东方面前展现了一个新的世界”欧洲人了解到希腊和阿拉伯数学，构成后来欧洲数学发展的基础.3次、4次方程的求解与符号代数的引入使欧洲一大批数学家对方程的研讨有了突破.

方程的名称的由来及分类

方程是代数史中次要的研讨课题之一，是古埃及人，巴比伦人，阿拉伯人，中国人，印度人，西欧人一棒接着一棒而完成的巨大成就.直至十九世纪代数学还被很多人理解为解方程的学问.

人类对方程的研讨经历了漫长的岁月，在刘徽的《九章算术》里曾经出现了方程一词.方程的英语是equation，就是“等式”的意思.这里当然不会有“方”的含义.清朝初年.中国的数学家把equation译成“相等式”，到清朝咸丰九年（公元1859年）才译成“方程”.从这时候候起，“方程”这个词就暗示含有未知数的等式，而刘徽所说的“方程”就叫做“方程组”了.

在初等数学中方程大概可以分为以下几类

今天我们次要回顾整式方程的发展历程.我筹办从以下四个方面进行论述：

方程在东方的发展，方程在欧洲的发展，方程的进一步发展，中学数学方程教学.

一、方程在东方的发展

公元前2000年前后古巴比伦泥板书上记载着如许的成绩：

我把我的正方形的面积加上正方形边长的三分之二得六十分之三十五，求该正方形的边长.

这个成绩相当于求解方程

泥板书上给出的解法是

另一部古埃及数学著作《柏林纸草书6619》上也有类似的成绩“将一个面积为100的大正方形分为两个小正方形，一个边长是另一个的”.

到了公元三世纪古希腊的数学家丢番图在本人的墓志铭上刻了如许一道题过路人！

这儿埋葬着丢番图，他生命的六分之一是童年；

再过了平生的十二分之一后，他开始长胡须；

又过了平生的七分之一后他结了婚；

婚后五年他有了儿子，但可惜儿子的寿命只要父亲的一半；

儿子死后，老人再活了四年就结束了余生.

丢番图在著作《算术》中，讨论了一次方程、二次方程和个别三次方程，还讨论了大量的不定方程.希腊数学自毕达哥拉斯学派后，爱好中间在几何，他们认为只要经过几何论证的命题才是可靠的.为了逻辑的紧密性，代数也披上了几何的外套.一切代数成绩，甚至简单的一次方程的求解，也都纳入了几何的模式当中.直到丢番图，才把代数解放出来，解脱了几何的羁绊.他认为代数方法比几何的归纳陈述更适宜于解决成绩，而在解题的过程中显示出的高度的巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜.他被后人称为『代数学之父』（还有韦达）不无道理.以下是人们对丢番图一些分歧的看法.

中国古代数学著作《九章算术》中有“方程”章，也包含了很多关于方程的成绩.《九章算术》没有暗示未知数的符号，而是用算筹将的系数和常数项排列成一个（长）方阵，这就是“方程”之一位称的来源.

接上去的几个世纪中国数学家在解方程上做出了突出贡献，公元3世纪赵爽《勾股圆方图说》给出了形如的二次方程的求解步调，公元5世纪张丘建《张丘建算经》给出了由三个未知量的两个方程构成的不定方程组的解，公元7世纪王孝通《缉古算经》解决了很多三次方程求解的实际成绩，公元11~13世纪在古代开平方、开立方、开带从平方、开带从立方等算法的基础上，创立了一种具有中国古代数学独特风格的新算法，即高次方程的数值解法.

其中张丘建算经的百鸡成绩给出三元不定方程组开创“一问多答”的先例，这是过去中国古算当于如今的x、y、z、w，）四元的各次幂放在上、下、左、右四个方向上，其它各项放在四个象限中.列出四元高次方程后，再联立方程组进行解方程组，方法是用消元方法解答,先择一元为未知数，其它元构成的多项式作为这未知数的系数，然后把四元四式消去一元，酿成三元三式，再消去一元变二元二式，再消去一元，就得到只含一元的天元开方式，然后用增乘开方法求得正根.这是线性方法组解法的严重发展，在东方，较有系书中所没有的.

宋代之前，数学家要列出一个方程，常常须要高超的数学技巧、复杂的推导和大量的文字说明，这是一件相当困难的工作.随着宋代创立的增乘开方法的发展，解方程有了完美的方法，这就直接促进了对于列方程方法的研讨，因而，又出现了中国数学的又一项杰出创造——天元术.1248年，金代数学家李冶在其著作《测圆海镜》零碎地介绍了用天元术建立二次方程，即设未知数并列方程的方法.

在天元术的基础上，朱世杰建立了“四元高次方程理论”，他把常数项放在地方（即“太”），然后“立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”，“天、地、人、物”这四“元”代表未知数，（即相统地研讨多元方程组要等到16世纪.

我国古代的数学家不止一次地攀登上当时世界数学发展的高峰，对于方程的研讨作出了当时无与伦比的成就，为世界数学史和文明史作出了巨大的贡献.这是中华民族的骄傲.当然，任何事物都是可以一分为二的.我国古代对方程的研讨常常局限于解决实际成绩，不看重基础理论特别是方程性质的研讨，是以，也存在不容忽视的缺点.

公元830年，花拉子米了一本有关代数的书《Hisabal-jabrwa'

l-muqabalah》.史学家不断以来对此书的题目的适当翻译的定见纷歧，al-jabr原意是“还原”，根据上下文的意思，是指把负项移到方程另一端酿成正项，方程才干平衡.wa'

l-muqabalah意即“化简”或“对消”，是指方程两端可以消去不异的项或合并同类项．数运算.所以书名也译为《还原与对消的科学》，但通常习气译作《积分和方程计算法》.这本书转成欧文，书名逐步简化后，就被直接译成了《代数学》，代数学（Algebra）一词即由此书而来.花拉子米的《代数学》一开头就指出：

以下的成绩，都是由根、平方与数这三样东西构成的.该书给出了六品种型一、二次方程，分六章来论述.

印度数学家婆罗摩笈多在公元628年完成的《婆罗摩笈多批改体系》一书中，也给出了普通二次方程的求根公式.婆什迦罗列举了各种二次方程的求解，并认为二次方程有两根.

二、方程在欧洲的发展

16世纪最巨大的数学成就是发现了三次方程和四次方程的求根公式.1515年，费罗用代数方法求解三次方程.1535年塔塔利亚颁布发表本人发现了形如的三次方程代数解法.1545年，意大利的卡当、费拉利在《大法》中发表了求三次方程普通代数解的公式.

1550～1572年，意大利的邦别利出版《代数学》，其中引入了虚数，完整解决了三次方程的代数解成绩.

1591年摆布，德国的韦达在《分析方法引论》中首次使用字母暗示数字系数的普通符号，推进了代数成绩的普通讨论.

韦达最次要的贡韦达用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法.他创设了大量的代数符号，用字母代替未知数，零碎论述并改良了三、四次方程的解法，指出了根与系数之间的关系.给出三次方程不成约情形的三角解法,被称为代数学之父.

17世纪初，欧洲流传着公元三世纪古希腊数学家丢番图所写的《算术》一书.l621年费马在巴黎买到此书，他利用专业时间对书中的不定方程进行了深入研讨.费马将不定方程的研讨限制在整数范围内，从而开始了数论这门数学分支.

1669年，英国的牛顿、雷夫逊发明解非线性方程的牛顿—雷夫逊方法.

1696年，法国的洛比达发明求不定式极限的“洛比达法则”.

18世纪人们开始讨论普通的五次方程的解法.欧拉和拉格朗日进行了测验考试，但是都以失败告终.19世纪人们开始研讨高于四次的方程的代数求根的方法，但是屡战屡败，而法国数学家拉格朗日发表论文《关于代数方程解的思考》，他认为次数不低于五次的方程的代数解法普通而言是找不到的，他试图证实这个理论的精确性，但是终以失败告终，然而这件事实却被两位天才的年轻数学家加以弥补，并得到证实，而在他们的研讨工作中诞生的新概念和新理论都将代数带入了一个新的时代，即抽象代数时代.这两位年轻的数学家分别是阿贝尔和伽罗瓦.

三、方程的进一步发展

伽罗瓦最次要的成就是提出了群的概念，并用群论完整解决了根式求解代数方程的成绩，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗瓦理论.最次要的是，群论开辟了全新的研讨领域，以结构研讨代替计算，把从偏重计算研讨的思维方式改变成用结构观念研讨的思维方式，并把数学运算归类，使群论敏捷发展成为一门簇新的数学分支，对近世代数的构成和发展发生了巨大影响.同时这类理论对于物理学、化学的发展，甚至对于二十世纪结构主义哲学的发生和发展都发生了巨大的影响.

在高等代数中，一次方程组（即线性方程组）发展成为线性代数理论；

而二次以上方程发展成为多项式理论.前者是向量空间、线性变换、型论、不变量论和张量代数等内容的一门近世代数分支学科，而后者是研讨只含有一个未知量的任意次方程的一门近世代数分支学科.作为大学课程的高等代数，只研讨它们的基础.高次方程组（即非线性方程组）发展成为一门比较古代的数学理论－代数几何.

四、方程的教学

在初等数学中有各种各样的方程，比方线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等.这些方程都是要把研讨的成绩中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解.精确掌控方程思想是进行方程课程设计、教科书编写和教学实施的须要前提和次要基础.

方程是从理想生活到数学的一个提炼过程,一个用数学符号提炼理想生活中的特定关系的过程.在开始进修方程时，先生处理代数的结构时，特别是用符号暗示数值关系时，面临的一个任务是如何把成绩的情景翻译成方程.方程思想的核心在于建模、化归.方程的进修,从一开始就应当让先生接触理想的成绩,进修建模,进修把日常生活中的天然说话等价地转化为数学说话,得到方程,进而解决有关成绩;

而解方程的设计要点在于再现化归的思想方法.

高中阶段对方程进修有较高的请求，重点在于领会方程和函数之间的密切关系和代数方