第四节残差分析Word下载.docx

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由数理统计方式能够证明

（2-1-27）

或记为

（2-1-28）

这说明残差的方差D（e）是x的函数，且二者呈曲线关系。

以回归方程及方程和作图。

见方开泰《实用回归分析》P45图

考虑到较小，当n较大时

（2-1-29）

现在图中的两条曲线可近似于两条平行直线。

从而有

（2-1-30）

或近似地

（2-1-31）

这表明，当n较大时yi落在图2-1-3的长条形带子中的概率约为95%，只要明白，就可以够取得残差的置信区域。

一般是未知的，通常常利用残差标准差来估量。

可用下式求得

（2-1-32）

由此可得残差置信带

（2-1-33）

对残差在置信带之外的数据都要进行检查，以区别是不是是异样数据，若是是异样数据就要剔除掉。

此刻咱们对例1做残差检查。

由式（2-1-32）

残差置信带为,。

计算5个实验点的预报值与残差值（见表2-1-4），并作出残差检查图（见图2-1-4）

表2-1-4例1的残差值 

图2-1-4例1的残差图

由图2-1-4可见，例1中全数数据的残差都在置信带内，没有异样数据。

除此之外，残差图还能够为咱们提供许多有效信息。

比如，在研究铁水质量时咱们看到1号高炉的残差偏于2处，而2号高炉的残差偏于-2处（见图2-1-5）。

在图2-1-5所示的这种情形下，成立统一的回归方程是不适合的，应该别离按1号和2号高炉成立回归方程。

图2-1-5数据有周期性转变的残差图

图2-1-6数据有偏向性转变的残差图

有时咱们还会发觉数据有偏向性转变。

在残差图上表现为前一部份数据的残差均为正值（或负值），而后一部份数据的残差均为负值（或正值），如图2-1-6所示。

碰到这种情形要仔细研究，找出原因。

比如前后两部份数据是由两个人观测的，可能两人掌握尺度不同所造成的，也可能是外界条件产生了转变或系统本身的原因造成的。

当残差出现一段全为正（或负），接着一段全为负（或正），然后又接着一段全为正或（为负）时（见图2-1-7），说明回归模型选择不妥，现在需要考虑用非线性回归模型去拟合它。

图2-1-7残差图表明回归模型选择不妥

二、预报和控制

成立回归方程的重要目的是为了用来进行预报和控制。

由于咱们通过样本所成立的回归方程只是关于特征数的估量式，由此所取得的预报值也只能是一个估量结果。

因此当咱们利用回归式进行预报的时候，除预报值之外，咱们还希望明白预报的精度。

换句话说，就是预报值的取值范围。

也就是对于给定的显著性水平，找出一个区间（t1,t2），使对应于某特定点的实际值y0以1-的概率被区间（t1,t2）所包括，即

（2-1-34）

能够证明知足式（2-1-34）的区间（t1,t2）是存在的，而且那个区间是关于的对称区间。

那个区间能够由下式求得

（2-1-35）

其中

（2-1-36）

为y0的标准差，为F散布表上查得的临界值。

因此有

（2-1-37）

比如对于例1，若已知含氮量x0=，要预报初生奥氏体析出温度y0。

由式（2-1-36）得

取查F散布表得F5％（1,3）=,由式（2-1-35）得

由前面的回归关系式可知,当x0=时

因此

通过上例计算能够体会到，要成立回归方程时样本容量n越大，Fa（1,n-2）和都越小,就越小，即预报精度就越高。

另外，x0越接近，预报精度也就越高。

在实际问题中，当n越大，x0接近时，为了方便起见，一般采用代替，取（时）或（时）。

参见本节残差分析部份。

下面简要介绍控制问题。

在实际问题中咱们常常需要将y控制在必然的范围内,即t1<

y<

t2,为此咱们要合理控制x的取值。

由于

（2-1-38）

又

（2-1-39）

故可取c和c的函数g（c）,使对给定的下式成立

（2-1-40）

解不等式组

（2-1-41）

得x。

x和c能够在那个不等式组成立的条件下调整。

在实际问题中，咱们能够用残差标准差来简单的解决控制问题中x的取值。

由式（2-1-31）和式（2-1-33）可知，在所有可能出现的y值中知足

（2-1-42）

的点大约有95%。

因此咱们只要求解不等式组

（2-1-43）

即可取得x的取值范围（x1,x2）。

.　测量不肯定度评定方式

参考公式及其详解参考：

　　ISO发布的“测量不确定度表示指南”是测量数据处理和测量结果不确定度表达的规范，由于在评定不确定度之前，要求测得值为最佳值，故必须作系统误差的修正和粗大误差（异常值）的剔除。

最终评定出来的测量不确定度是测量结果中无法修正的部分。

　　测量不确定度评定总的过程如图3－3所示的流程。

具体的方法还要有各个环节的计算。

图3-3测量不确定度评定流程图

1、标准不确定度的A类评定

此法是通过对等精度多次重复测量所得数据进行统计分析评定的，正如前面介绍的随机误差的处理过程，标准不确定度u（xi）＝s（xi），是用单次测量结果的标准不确定度算出：

（3-20）

其单次测量结果的标准不确定度可用贝塞尔法求得，即：

=（3-21）

其实，单次测量结果的标准不确定度还有如下求法：

①最大残差法：

=，系数如表3-2所示。

表3-2最大残差法系数

n23456789101520

②极差法：

居于服从正态散布的测量数据，其中，最大值与最小值之差称为极差。

=，系数如表3-3所示。

表3-3极差法系数

2、标准不确定度的B类评定

B类评定是一种非统计方法，当不能用统计方法获得标准不确定度，或已有现成的相关数据时采用，此时，测量结果的标准不确定度是通过其他途径获得，如信息、资料。

来源有以下几方面，如：

此前已做测量分析；

仪器制造厂的说明书；

校准或其它报告提供的数据；

手册提供的参考数据等。

具体计算标准不确定度方法如下：

u（xj）=

——已知的展伸不确定度，或是已知的测量值按某一概率的分布区间的半值

——包含因子，它的选取与分布有关；

正态分布时则与所取的置信概率有关。

①当得知不肯定度U（xj）为估量标准差的2或3倍时，kj则为2或3；

②若得知不肯定度U（xj）和对应的置信水准，则可视其为服从正态散布。

若置信水准为、、或时，kj则对应为1，，，3；

③若得知U（xj）是xj转变范围的半区间，即Xj在[xj-U（xj），xj+U（xj）]内，且明白其散布规律，kj由表3－4选取：

表3－4集中非正态分布的置信因子

分布三角分布梯形分布均匀分布反正弦分布

3、求合成标准不确定度

测量结果y的标准不确定度（y）或u（y）为合成标准不确定，它是测量中各个不确定度分量共同影响下的结果，故取决于xi标准不确定度u（xi），可按不确定度传播律合成。

计算方法与前面介绍的随机误差的合成方法相同。

4、求展伸不确定度

展伸不确定度是为使不确定度置信水准（包函概率）更高而提出的，需将标准不确定度uc（y）乘以包含因子k以得到展伸不确定度：

U=kuc（y）。

展伸不确定度计算见图3-4所示流程有两种处理方法，一种是自由度不明或无，当“无”处理。

另一种是知道自由度，按“有”处理，此时包含因子k与自由度有关。

图3-4展伸不确定度计算

5、测量不确定度报告

上述根据测量原理，使用测量装置进行测量，求得测量结果以及测量结果的展伸不确定度，最后是给出测量结果报告，同时应有测量不确定度报告。

测量不确定度报告用展伸不确定度表示，其形式如下。

（1）有自由度v时表达为：

测量结果的展伸不确定度U＝XXX

并加如下附注：

U由合成标准不确定度uc＝XXX求得，其基于自由度v＝XXX，置信水准p＝XXX的t分布临界值所得包含因子k＝XXX。

（2）自由度v无法获得时表达为：

U由合成标准不确定度uc＝XXX和包含因子k＝XXX而得。

6、应用举例

[例3-1]等精度测量某一尺寸15次，各次的测得值如下（单位为mm）：

，，，，，，，，，，，，，，。

求测量结果平均值的标准偏差。

若测得值已包含所有的误差因素，给出测量结果及不确定度报告。

解：

1）求算术平均值：

＝15＝

2）求残差vi=xi-得（单位μm）：

0，＋1，―2，―1，＋13，―3，―2，―3，―1，0，＋1，―3，―2，＋1，＋1。

3）求残差标准偏差估计值S

＝＝mm

4）按3σ准则判别粗大误差，剔除不可靠数据：

|＋13|＞3σ（等于3S＝），应剔除。

5）剩余14个数字再进行同样处理：

求得平均值：

14＝

求得残差（单位mm）：

＋1，＋2，―1，0，―2，―1，―2，0，＋1，＋2，―2，―1，＋2，＋2。

求残差标准偏差估计值（单位mm）S＝＝，3σ＝3S＝，再无发现粗大误差。

6）求测量结果平均值的标准偏差（单位mm）：

===

7）测量结果：

（属于A类、按贝塞尔法评定）

测得值为：

mm

测量结果的展伸不确定度U＝mm

（U由合成标准不确定度uc＝求得，基于自由度v＝13，置信水准p＝的t分布临界值所得包含因子k＝。

）