初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第21讲 从三角形的内切圆谈起Word格式.docx

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，BC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC分相切于点D、E、F，若⊙O的半径r＝2，则Rt△ABC的周长为．

思路点拨AF=AD，BE=BD，连OE、OF，则OECF为正方形，只需求出AF（或AD）即可．

【例2】如图，以定线段AB为直径作半圆O，P为半圆上任意一点（异于A、B），过点P作半圆O的切线分别交过A、B两点的切线于D、C，AC、BD相交于N点，连结ON，NP，下列结论：

①四边形ANPD是梯形；

②ON=NP：

③DP·

PC为定值；

④FA为∠NPD的平分线，其中一定成立的是（）

A．①②③B．②③④C．①③④D．①④

思路点拨本例综合了切线的性质、切线长定理、相似三角形，判定性质等重要几何知识，注意基本辅助线的添出、基本图形识别、等线段代换，推导出NP∥AD∥BC是解本例的关键．

【例3】如图，已知∠ACP=∠CDE=90°

，点B在CE上，CA=CB=CD，过A、C、D三点的圆交AB于F，求证：

F为△CDE的内心．

（全国初中数学联赛试题）

思路点拨连CF、DF，即需证F为△CDE角平分线的交点，充分利用与圆有关的角，将问题转化为角相等问题的证明．

【例4】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，以AB为直径作半圆O切CD于E，连结OE，并延长交AD的延长线于F．

（1）问∠BOZ能否为120°

，并简要说明理由；

（2）证明△AOF∽△EDF，且；

（3）求DF的长．

思路点拨分解出基本图形，作出基本辅助线．

（1）若∠BOZ=120°

，看能否推出矛盾；

（2）把计算与推理融合；

（3）把相应线段用DF的代数式表示，利用勾股定理建立关于DF的一元二次方程．

如图，在直角梯形ABCD中，若AD+BC=CD，则可得到应用广泛的两个性质：

（1）以边AB为直径的圆与边CD相切；

（2）以边CD为直径的圆与边AB相切．

类似地，三角形三条中线的交点叫三角形的重心，三角形三边高所在的直线的交点叫三角形的垂心．外心、内心、垂心、重心统称三角形的四心，它们处在三角而中的特殊位置上，有着丰富的性质，在解题中有广泛的应用．

【例5】如图，已知Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是△ABC；

△ACD、△BCD的角平分线的交点，求证：

（1）O1O⊥CO2；

（2）OC=O1O2．

（武汉市选拔赛试题）

思路点拨在直角三角形中，斜边上的高将它分成的两个直角三角形和原三角形相似，得对应角相等，所以通过证交角为90°

的方法得两线垂直，又利用全等三角形证明两线段相等．

学力训练

1．如图，已知圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于=cm．

2．如图，在直角，坐标系中A、B的坐标分别为（3，0）、（0，4），则Rt△ABO内心的坐标是．

3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=8，BC=5，若以AB为直径的⊙O与DC相切于E，则DC=．

4．如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°

，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径等于（）

A．B．C．D．

5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°

，以CD为直径的半圆O切AB于点E，这个梯形的面积为21cm2，周长为20cm，那么半圆O的半径为（）

A．3cmB．7cmC．3cm或7cmD．2cm

6．如图，△ABC中，内切圆O和边B、CA、AB分别相切于点D、EF，则以下四个结论中，错误的结论是（）

A．点O是△DEF的外心B．∠AFE=（∠B+∠C）

C．∠BOC=90°

+∠AD．∠DFE=90°

一∠B

7．如图，BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，切点分别为B、P，过C点的切线与AD交于点D，连结AO、DO．

（1）求证：

△ABO∽△OCD；

（2）若AB、CD是关于x的方程的两个实数根，且S△ABO+S△OCD=20，求m的值．

8．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点D，连结AD并延长，BC相交于点E．

（1）若BC=，CD=1，求⊙O的半径；

（2）取BE的中点F，连结DF，求证：

DF是⊙O的切线；

（3）过D点作DG⊥BC于G，OG与DG相交于点M，求证：

DM＝GM．

9．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°

，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始向点D以1cm／秒的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2cm／秒的速度运动，点P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动．

（1）求⊙O的直径；

（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式，并求当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCP的面积；

（3）是否存在某时刻t，使直线PQ与⊙O相切，若存在，求出t的值；

若不存在，请说明理由．（2002年烟台市中考题）

10．已知在△ABC中，∠C=90°

，AC=4，BC=3，CD为AB上的高，Ol、O2分别为△ACD、△BCD的内心，则OlO2=．

11．如图，在△ABC中，∠C=90°

，∠A和∠B的平分线相交于P点，又PE⊥AB于点E，若BC=2，AC=3，则AE·

EB=．

12．如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，那么该直线必通过这个三角形的（）

A．内心B．外心C．圆心D．重心

13．如图，AD是△ABC的角平分线，⊙O过点AB和BC相切于点P，和AB、AC分别交于点E，F，若BD=AE，且BE=a，CF=b，则AF的长为（）

A．B．C．D．

14．如图，在矩形ABCD中，连结AC，如果O为△ABC的内心，过O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，则矩形OFDE的面积与矩形ABCD的面积的比值为（）

A．B．C．D．不能确定

（《学习报》公开赛试题）

⌒

15．如图，AB是半圆的直径，AC为半圆的切线，AC=AB．在半圆上任取一点D，作DE⊥CD，交直线AB于点F，BF⊥AB，交线段AD的延长线于点F．

（1）设AD是x°

的弧，并要使点E在线段BA的延长线上，则x的取值范围是；

（2）不论D点取在半圆什么位置，图中除AB=AC外，还有两条线段一定相等，指出这两条相等的线段，并予证明．

16．如图，△ABC的三边满足关系BC=（AB+AC），O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H．

求证：

（1）AI=BD；

（2）OI=AE．

17．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点F，问EP与PD是否相等?

证明你的结论．

18．如图，已知点P在半径为6，圆心角为90°

的扇形OAB的AB（不含端点）上运动，PH⊥OA于H，△OPH的重心为G．

（1）当点P在AB上运动时，线段GO、GP、GH中有无长度保持不变的线段?

如果有，请指出并求出其相应的长度；

（2）设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围；

（3）如果△PGH为等腰三角形，试求出线段PH的长．

参考答案

第二十二讲园幂定理

相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．

相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：

1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；

2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．

熟悉以下基本图形、基本结论：

【例1】如图，PT切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径CT交于点D，CD=2，AD=3，BD=6，则PB=．

思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求PB长．

比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：

（1）平行线分线段对应成比例；

（2）相似三角形对应边成比例；

（3）直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来；

（4）圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．

【例2】如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB=4，BE=5，则DE的长为（）

A．3B．4C．D．

思路点拨连AC，CE，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．

圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．

【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B．

PA是⊙O的切线；

（2）如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：

ED=6：

5，，AE：

BE=2：

3，求AB的长和∠ECB的正切值．

思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．

（1）问的证明为切割线定理的运用创造了条件；

引入参数x、k处理

（2）问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x与k的关系，建立x或k的方程．

【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：

EG=DE

思路点拨由切割线定理得EG2=EF·

EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·

EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．

圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．

需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．

【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．

求：

（1）cos∠F的值；

（2）BE的长．

思路点拨解决本例的基础是：

熟悉圆中常用辅助线的添法（连OE，AE）；

熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于

（1），先求出EF，FO值；

对于

（2），从△BEF∽△EAF，Rt△AEB入手．

当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：

（1）多视点观察