高中数学人教a版高一必修二模块综合测评有答案Word文档格式.docx
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①点P到坐标原点的距离为;
②OP的中点坐标为;
③与点P关于x轴对称的点的坐标为(-1,-2,-3);
④与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(1,2,-3);
⑤与点P关于坐标平面xOy对称的点的坐标为(1,2,-3).
其中正确的个数是( )
A.2B.3
C.4D.5
【解析】 点P到坐标原点的距离为=,故①错;
②正确;
与点P关于x轴对称的点的坐标为(1,-2,-3),故③错;
与点P关于坐标原点对称的点的坐标为(-1,-2,-3),故④错;
⑤正确,故选A.
5.如图1,在长方体ABCDA1B1C1D1中,M、N分别是棱BB1、B1C1的中点,若∠CMN=90°
,则异面直线AD1和DM所成角为( )
图1
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
【解析】 因为MN⊥DC,MN⊥MC,
所以MN⊥平面DCM.
所以MN⊥DM.
因为MN∥AD1,所以AD1⊥DM.
6.(2015·
福建高考)某几何体的三视图如图2所示,则该几何体的表面积等于( )
图2
A.8+2B.11+2
C.14+2D.15
【解析】 由三视图知,该几何体是一个直四棱柱,上、下底面为直角梯形,如图所示.
直角梯形斜腰长为=,所以底面周长为4+,侧面积为2×
(4+)=8+2,两底面的面积和为2×
×
1×
(1+2)=3,所以该几何体的表面积为8+2+3=11+2.
【答案】 B
7.已知圆x2+y2+2x+2y+k=0和定点P(1,-1),若过点P的圆的切线有两条,则k的取值范围是( )
A.(-2,+∞)B.(-∞,2)
C.(-2,2)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
【解析】 因为方程x2+y2+2x+2y+k=0表示一个圆,所以4+4-4k>0,所以k<2.由题意知点P(1,-1)在圆外,所以12+(-1)2+2×
1+2×
(-1)+k>0,解得k>-2,所以-2<k<2.
8.在三棱柱ABCA1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
【解析】 如图,取BC的中点E,连接DE、AE、AD.依题设知AE⊥平面BB1C1C.故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为2,则AE=×
2=,DE=1.
∵tan∠ADE===,
∴∠ADE=60°
,故选C.
9.(2015·
开封高一检测)若m、n为两条不重合的直线,α、β为两个不重合的平面,则下列说法中正确的是( )
①若直线m、n都平行于平面α,则m、n一定不是相交直线;
②若直线m、n都垂直于平面α,则m、n一定是平行直线;
③已知平面α、β互相垂直,且直线m、n也互相垂直,若m⊥α,则n⊥β;
④若直线m、n在平面α内的射影互相垂直,则m⊥n.
A.②B.②③
C.①③D.②④
【解析】 对于①,m与n可能平行,可能相交,也可能异面;
对于②,由线面垂直的性质定理可知,m与n一定平行,故②正确;
对于③,还有可能n∥β;
对于④,把m,n放入正方体中,如图,取A1B为m,B1C为n,平面ABCD为平面α,则m与n在α内的射影分别为AB与BC,且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°
,故④错.因此选A.
10.(2015·
全国卷Ⅱ)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( )
A.B.
【解析】
在坐标系中画出△ABC(如图),利用两点间的距离公式可得|AB|=|AC|=|BC|=2(也可以借助图形直接观察得出),所以△ABC为等边三角形.设BC的中点为D,点E为外心,同时也是重心.所以|AE|=|AD|=,从而|OE|===,故选B.
11.(2016·
重庆高一检测)已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一点,PA是圆C:
x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,若PA长度的最小值为2,则k的值是( )
【导学号:
09960153】
A.3B.
C.2D.2
【解析】 圆C:
x2+y2-2y=0的圆心是(0,1),半径是r=1,
∵PA是圆C:
x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,PA长度的最小值为2,∴圆心到直线kx+y+4=0的最小距离为,
由点到直线的距离公式可得=,
∵k>0,∴k=2,故选D.
12.(2016·
德州高一检测)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起,使得BD=a,则三棱锥DABC的体积为( )
A.a3B.
C.a3D.
【解析】 取AC的中点O,如图,
则BO=DO=a,
又BD=a,所以BO⊥DO,又DO⊥AC,
所以DO⊥平面ACB,
VDABC=S△ABC·
DO
=×
a2×
a=a3.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案填在题中的横线上)
13.已知两条平行直线的方程分别是2x+3y+1=0,mx+6y-5=0,则实数m=________.
【解析】 由于两直线平行,所以=≠,∴m=4.
【答案】 4
14.一个横放的圆柱形水桶,桶内的水漫过底面周长的四分之一,那么当桶直立时,水的高度与桶的高度的比为________.
【解析】 设圆柱形水桶的底面半径为R,高为h,桶直立时,水的高度为x.
横放时水桶底面在水内的面积为,水的体积为
V水=h.
直立时水的体积不变,则有V水=πR2x,
∴x∶h=(π-2)∶4π.
【答案】 (π-2)∶4π
15.已知一个等腰三角形的顶点A(3,20),一底角顶点B(3,5),另一顶点C的轨迹方程是________.
【解析】 设点C的坐标为(x,y),
则由|AB|=|AC|得
=,
化简得(x-3)2+(y-20)2=225.
因此顶点C的轨迹方程为(x-3)2+(y-20)2=225(x≠3).
【答案】 (x-3)2+(y-20)2=225(x≠3)
16.(2015·
湖南高考)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>
0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°
(O为坐标原点),则r=__________.
【解析】 如图,过点O作OD⊥AB于点D,则|OD|==1.
∵∠AOB=120°
,OA=OB,
∴∠OBD=30°
,
∴|OB|=2|OD|=2,即r=2.
【答案】 2
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)直线l1过点A(0,1),l2过点B(5,0),如果l1∥l2且l1与l2的距离为5,求l1,l2的方程.
【解】 若直线l1,l2的斜率都不存在,则l1的方程为x=0,l2的方程为x=5,此时l1,l2之间距离为5,符合题意;
若l1,l2的斜率均存在,设直线的斜率为k,由斜截式方程得直线l1的方程为y=kx+1,即kx-y+1=0,
由点斜式可得直线l2的方程为y=k(x-5),即kx-y-5k=0,在直线l1上取点A(0,1),则点A到直线l2的距离d==5,∴25k2+10k+1=25k2+25,∴k=.
∴l1的方程为12x-5y+5=0,l2的方程为12x-5y-60=0.
综上知,满足条件的直线方程为
l1:
x=0,l2:
x=5或l1:
12x-5y+5=0,l2:
12x-5y-60=0.
18.(本小题满分12分)已知圆C1:
x2+y2-4x+2y=0与圆C2:
x2+y2-2y-4=0.
(1)求证:
两圆相交;
(2)求两圆公共弦所在直线的方程.
09960154】
【解】
(1)证明:
圆C1:
x2+y2-2y-4=0化为标准方程分别为圆C1:
(x-2)2+(y+1)2=5与圆C2:
x2+(y-1)2=5,则圆心坐标分别为C1(2,-1)与C2(0,1),半径都为,故圆心距为=2,又0<
2<
2,故两圆相交.
(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在直线的方程,即(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0,得x-y-1=0.
19.(本小题满分12分)如图3,在三棱锥ABPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB中点,D为PB中点,且△PMB为正三角形.
图3
DM∥平面APC;
(2)求证:
平面ABC⊥平面APC.
【证明】
(1)∵M为AB的中点,D为PB的中点,
∴MD∥AP.
又∵DM⊄平面APC,AP⊂平面APC,
∴DM∥平面APC.
(2)∵△PMB为正三角形,D为PB中点,
∴MD⊥PB.又∵MD∥AP,∴AP⊥PB.
又∵AP⊥PC,PC∩PB=P,∴AP⊥平面PBC.
∵BC⊂平面PBC,∴AP⊥BC.
又∵AC⊥BC,且AC∩AP=A,∴BC⊥平面APC.
又∵BC⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面APC.
20.(本小题满分12分)已知△ABC的顶点A(0,1),AB边上的中线CD所在的直线方程为2x-2y-1=0,AC边上的高BH所在直线的方程为y=0.
(1)求△ABC的顶点B、C的坐标;
(2)若圆M经过A、B且与直线x-y+3=0相切于点P(-3,0),求圆M的方程.
【解】
(1)AC边上的高BH所在直线的方程为y=0,所以AC边所在直线的方程为x=0,
又CD边所在直线的方程为2x-2y-1=0,
所以C,
设B(b,0),
则AB的中点D,
代入方程2x-2y-1=0,
解得b=2,
所以B(2,0).
(2)由A(0,1),B(2,0)可得,圆M的弦AB的中垂线方程为4x-2y-3=0,①
由与x-y+3=0相切,切点为(-3,0)可得,圆心所在直线方程为y+x+3=0,②
①②联立可得,M,
半径|MA|==,
所以所求圆方程为2+2=.
21.(本小题满分12分)如图4,在三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分别是A1C1,BC的中点.
图4
平面ABE⊥平面B1BCC1;
C1F∥平面ABE;
(3)求三棱锥EABC的体积.
在三棱柱ABCA1B1C1中,
BB1⊥底面ABC,所以BB1⊥AB.
又因为AB⊥BC,
所以AB⊥平面B1BCC1,
又AB⊂平面ABE,
所以平面ABE⊥平面B1BCC1