数二真题标准答案及解析Word文档格式.docx
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（A）处处可导.
（C）恰有两个不可导点.
设F（x）是连续函数f（x）的一个原函数,
（A）
（B）
（C）
（D）
（B）恰有一个不可导点.
（D）至少有三个不可导点.[
"
M=N"
表示“M的充分必要条件是
F（x）是偶函数Uf（x）是奇函数.
F（x）是奇函数二f（x）是偶函数.
F（x）是周期函数二f（x）是周期函数.
F（x）是单调函数二f（x）是单调函数.
设函数
y=y（x）由参数方程
2
x=t+2t
'
确定，则曲线y=y（x）在x=3处的法线与
y=ln（1+t）
—In2+3.
8
-8ln2+3.
（10）设区域D={（X,y）
X2
（B）--ln2+3.
（D）8ln2+3.
<
4,x>
0,y>
0},
]
N”，则必有
x轴交点的横坐标是
f（x）为D上的正值连续函数,
a,b为常数，则
Jf（x）+bJf（y）dTDJf（X）+Jf（y）
（A）ab兀.（B）ab■兀
（C）（a+b）兀.
a+b
（D）h
My
（11）设函数u（x,y）=®
（x+y）+®
（x—y）+［屮（t）dt,其中函数半具有二阶导数，屮具有一阶导数,
叹—y
宀2宀2
CUCU
约2
次2
c2U
&
点2u
c^cy
CU
亠2.
谢
—、2.
ex
（12）
设函数f（x）=
x=0,x=1都是f（x）的第一类间断点.
x=0,x=1都是f（x）的第二类间断点.
x=0是f（x）的第一类间断点，
x=0是f（x）的第二类间断点，
x=1是f（x）的第二类间断点.x=1是f（x）的第一类间断点.
（13）
设［「2是矩阵A的两个不同的特征值,
对应的特征向量分别为％a2
，则a1，A（a1+a2）线性
则必有
无关的充分必要条件是
（A）打H0.（B）/吃H0.（C））^1=0.（D）=0.
（14）设A为n（n>
2）阶可逆矩阵，交换A
的第1行与第2行得矩阵B,A*,B*分别为A,B的伴随矩
阵,
交换A的第1列与第2列得B.
（B）交换A的第1行与第2行得B.
交换A*的第1列与第2列得-B*.
（D）交换A*的第1行与第2行得-B*.
（本题共
解答题
（15）（本题满分
［
9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
11分）
.）
设函数f（x）连续,
x
f（X—t）f（t）dt
且f（0）HO，求极限lim0
x[f（X-t）dt
（16）（本题满分
11分）
1x
如图，G和C2分别是y=—（1+e）和y=ex的图象，过点（0,1）的曲线C3是一单调增函数的图象.过
C2上任一点M（x,y）分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和|厂记Gl?
与lx所围图形的面积为；
C2,C3与ly所围图形的面积为S2（y）.如果总有S1（x）=S2（y），求曲线C3的方程x=W（y）.
（17）（本题满分11分）
如图，曲线C的方程为y=f（x），点（3,2）是它的一个拐点，直线11与12分别是曲线C在点（0,0）与（3,2）处
的切线，其交点为（2,4）.设函数f（x）具有三阶连续导数，计算定积分.L（x2+x）f7x）dx.
（18）（本题满分12分）
用变量代换X=cost（0<
t£
兀）化简微分方程（1-x2）y"
-xyyy=0
并求其满足
=1,y
X卫'
，
（佃）（本题满分12分）
已知函数f（x）在［0，1］上连续，在（0,1）内可导，且f（0）=0,f
（1）=1.证明:
x『=2的特解.
（I）存在©
忘（0,1）,使得f（©
）=1_©
；
（II）存在两个不同的点3匚迂（0,1），使得fj）f工）=1.
（20）（本题满分10分）
已知函数z=f（x,y）的全微分dz=2xdx-2ydy，并且f（1,1,）=2.求
f（x,y）在椭圆域
={（x,y）x
2+y<
1｝上的最大值和最小值.
（21）（本题满分9分）
X2+y2—1db，其中D={（x,y）O<
X<
1,0<
y<
1}.
（22）（本题满分9分）
确定常数a,使向量组％=（1,1,a）T,a^（1,a,1）T,a^（a,1,1）T
可由向量组
p1
=（1,1,a）T,02=（—2,a,4）T,打=（一2,a,a）T线性表示，但向量组盯^?
^不能由向量组口1,口2,5线
性表示.
（23）（本题满分9分）
「1
已知3阶矩阵A的第一行是（a,b,c）,a,b,c不全为零，矩阵B-
L3
（k为常数），且AB=O,求
线性方程组Ax=0的通解.
考研数学二真题解析
（1）设y=（1+sinx）x，则dy
-jidx.
【分析】
隐函数求导.
本题属基本题型，幕指函数的求导（或微分）问题可化为指数函数求导或取对数后转化为
【详解】
七卄•\Xxln（1卡inx）工曰
万法一：
y=（1+sinx）=e，于是
y,=e羽灼nx）[ln（1+sinx）+x•^os^],
1+sinX
从而
dy
x=jl
=y'
（兀）dx=—兀dx.
方法二:
两边取对数，Iny=xln（1+sinx），对x求导，得
1/=ln（^sinx^xcosx
y1+sinx
cosx
于是y‘=（1+sinx）x[ln（1+sinx）+x]，故
（1+x）23
（2）曲线y=i丿的斜渐近线方程为y=X+—.
Jx2
本题属基本题型，直接用斜渐近线方程公式进行计算即可
因为a=lim少=lim哼j=1,
XT坯XF坯xjx
33
（1+x）2-x'
b二協〔f（x）-ax
=lim-x—j-bc
于是所求斜渐近线方程为
xdx
⑶0（2-x2）7^
作三角代换求积分即可
令X=sint，贝y
xdx_石
（2-x2）J1-x2'
sintcost
（2-sint）cost
dt
「2dcost
01+cos21
=-arctan（coS:
）
111
（4）微分方程xy'
+2y=xlnx满足y
（1）=一一的解为y=-xlnx--x..
939
【分析】直接套用一阶线性微分方程y'
+P（x）y=Q（x）的通解公式:
_（P（x）dxfP（x）dx
y=e」[jQ（x）e」dx+C],
再由初始条件确定任意常数即可.
【详解】原方程等价为
y‘+—y=InX，
—£
dxLdx12
于是通解为y=e'
X[flnXe'
Xdx+C]=p{Jxlnxdx+C]
‘X、
1,1“1
=-xlnX—一x+C-V，
39x2
由y
（1）=-一得C=0，故所求解为y=-xlnx—-x.
（5）当XT0时，a（x）=kx2与P（x）=J1+xarcsinx-Jcosx是等价无穷小，则
k=
【分析】题设相当于已知limEd，，由此确定k即可.
T^x）
【详解】由题设，lim如=limJ"
xarcsin2x-Jcosx
XTa（x）Tkx2
xarcsinx+1-cosx
lim„,
XTkx2（+xarcsinx+寸cosx）
1xarcsinX+1-cosx
lim2
2kXTx
=3=1，得k
4k
（6）设％32,口3均为3维列向量，记矩阵
A=（%,a2,a3），B=01+^2+^301+2^2中曲331+^2+创3），
1）2）
如果冲=1,
那么B=2
将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可由题设，有
B=8+«
2乜3,%+羽2+4^3宀+化+曲3）
于是有
「111[
=（«
1,«
2,口3）1
L1
=1x2=2.
二、选择题（本题共8小题，把所选项前的字母填在题后的括号内）
每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求,
设函数f（X）=lim+|xr，则f（x）在（二，畑）内
n'
*
处处可导.
恰有两个不可导点.
【分析】先求出f（x）的表达式，再讨论其可导情形
（D）至少有三个不可导点.
【详解】当
1时，
f（X）=
=1时，
f（x）-
>
f（x）=
lim奸刁=1；
n_3pc
1卵3（
X
+1）n=X
XC-1,
—1<
x<
1,
3.
X,Xa1.
即f（x）=41,
可见f（x）仅在
x=土1时不可导，故应选（C）.
N”，贝泌有
设F（x）是连续函数f（x）的一个原函数，"
表示“M的充分必要条件是F（x）是偶函数Uf（x）是奇函数.
【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.
【详解】方法一：
任一原函数可表示为F（x）=Jof（t）dt+C，且F'
（X）=f（X）
-f（—x）=f（X）,也即
f（t）dt为偶函数，从而
当
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