大一上学期(第一学期)高数期末考试题(有答案).doc

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大一上学期高数期末考试

一、单项选择题（本大题有4小题,每小题4分,共16分）

1..

（A）（B）（C）（D）不可导.

2..

（A）是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B）是等价无穷小；

（C）是比高阶的无穷小；（D）是比高阶的无穷小.

3.若，其中在区间上二阶可导且，则（）.

（A）函数必在处取得极大值；

（B）函数必在处取得极小值；

（C）函数在处没有极值，但点为曲线的拐点；

（D）函数在处没有极值，点也不是曲线的拐点。

4.

（A）（B）（C）（D）.

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5..

6..

7..

8..

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9.设函数由方程确定，求以及.

10.

11.

12.设函数连续，，且，为常数.求并讨论在处的连续性.

13.求微分方程满足的解.

四、解答题（本大题10分）

14.已知上半平面内一曲线，过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.

五、解答题（本大题10分）

15.过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及x轴围成平面图形D.

（1）求D的面积A；

（2）求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V.

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

16.设函数在上连续且单调递减，证明对任意的，.

17.设函数在上连续，且，.证明：

在内至少存在两个不同的点，使（提示：

设）

解答

一、单项选择题（本大题有4小题,每小题4分,共16分）

1、D2、A3、C4、C

二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）

5..6..7..8..

三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）

9.解：

方程两边求导

，

10.解：

11.解：

12.解：

由，知。

，在处连续。

13.解：

，

四、解答题（本大题10分）

14.解：

由已知且，

将此方程关于求导得

特征方程：

解出特征根：

其通解为

代入初始条件，得

故所求曲线方程为：

五、解答题（本大题10分）

15.解：

（1）根据题意，先设切点为，切线方程：

由于切线过原点，解出，从而切线方程为：

则平面图形面积

（2）三角形绕直线x=e一周所得圆锥体体积记为V1，则

曲线与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e一周所得旋转体体积为V2

D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积

六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共12分）

16.证明：

故有：

证毕。

17.

证：

构造辅助函数：

。

其满足在上连续，在上可导。

，且

由题设，有，

有，由积分中值定理，存在，使即

综上可知.在区间上分别应用罗尔定理，知存在

和，使及，即.