连续传递函数离散化的方法与原理Word格式.docx
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步骤2离散化模拟控制器
离散化模拟控制器之前，先要确定离散化算法和采样时间。
离散化算法有好几种，第二章中有详细的论述，现假定采用双线性变换法。
确定采样时间，需要考虑被控对象的特性，计算机的性能，以及干扰信号的影响等，初步可按采样时间T<
，Tp为被控对象时间常数，或T=～τ，为被控对象的纯滞后，初步确定后再综合平衡其它因素，当然这需要一定的经验，现在假定取秒。
假设模拟控制器为，在MATLAB中，用c2d函数进行离散化，过程为：
ds=zpk（-2,-15,8）%建立模拟控制器的s传递函数
dz=c2d（ds,,'
tustin'
）%将模拟控制器按tustin方法转换为z传递函数的数字控制器
转换结果为：
步骤3检验数字控制器的性能
数字控制器的性能项目比较多，我们仅以直流增益，频率特性，零极点分布说明。
直流增益dcgain（dz）返回直流增益
频率特性bode（ds,'
r'
dz,'
g'
）伯德图，见下页左图
零极点分布pzmap（dz）零极点分布图，见下页右图
步骤4离散化控制对象
为了进行模拟仿真，需要对控制对象进行离散化，由于步骤1所说的原因，应把被控对象视为零阶保持器与原对象的串连，即应对进行离散化，这时可在c2d函数中使用零阶保持器（zoh）方法，如果认为不需要添加零阶保持器，即直接对G（s）离散化，则应在c2d函数中使用冲击响应不变法（imp）。
借用零阶保持器（zoh）方法，将对象带一阶保持器离散化的过程如下：
......%模拟控制器D（s）转换为D（z）的过程见前
gs=zpk（[],[0,-2],20）%建立对象的s传递函数
g1z=c2d（gs,,'
zoh'
）%借用c2d函数进行带零阶保持器的对象的离散化
步骤5模拟仿真
求离散系统的闭环传递函数和连续系统的闭环传递函数。
离散系统的闭环传递函数为：
连续系统的闭环传递函数为：
用MATLAB算TRCZ与TRCS：
trcz=dz*g1z/（1+dz*g1z）
trcs=ds*gs/（1+ds*gs）
结果为：
用MATLAB函数STEP画阶跃响应图形：
holdon%图形保持
step（trcs,'
2）%画连续系统的阶跃响应图,红色,终止时间为2秒
step（trcz,'
b'
2）%画离散系统的阶跃响应图,兰色,终止时间为2秒
响应图形为：
步骤6求数字控制器的时域表达式
上面已经求出，连续传递函数的tustin离散式为
，或。
对上式取z反变换，得时域表达式，根据此式就可以写出计算的程序代码来了。
除上述步骤之外，在编写程序代码时，还需要考虑几个问题：
①ADC位数
ADC位数是一个硬件问题，在系统设计时，就应该结合控制算法，仔细分析ADC位数对控制精度的影响。
②数据类型
在控制算法中有3种数据类型可以采用：
无符号整数，定点数，浮点数。
我们知道，无符号整数运算既是最简单和速度最快的运算，又是定点数运算和浮点数运算的基础。
在数据动态范围比较小的情况下，应尽可能用无符号整数运算代替定点数运算和浮点数运算。
浮点数运算是一整套运算，包括加，减，乘，除，对阶，规格化，溢出处理等一系列子程序，使用浮点数的程序，将占用比较多的代码空间和比较长的运行时间。
不论使用汇编语言还是c语言，对于是否使用浮点数运算，都应进行比较仔细的酌斟。
③数值计算误差
数值计算引入的误差有3个方面，一是定点数字长不够或者浮点数有效数字过少，一是两个相近的数相减，一是加减乘除次数过多。
在程序设计中，应优化算法以避免计算误差的引入。
第二节在MATLAB中离散化
1.建立s降幂传递函数
①建立多项式型s降幂传递函数
方法1.sys=tf（num,den）
方法2.s=tf（'
s'
），再令sys=f（s）
例：
已知，用tf函数建立多项式型s降幂传递函数，，若G0以零极点形式给出，即已知，仍可用tf函数建立多项式型s降幂传递函数，但需用多项式乘法函数conv配合，G0=tf（conv（[3],[1]）,conv（conv（[10],[11]）,[1]））
②建立零极点型s传递函数
方法1.sys=zpk（z,p,k）
方法2.s=zpk（'
），再令sys=f（s）。
2.传递函数的转换
①将任意形式的s传递函数转换为s降幂传递函数sys=tf（sys）
②将任意形式的s传递函数转换为s零极点传递函数sys=zpk（sys）
3.建立z传递函数
①将连续传递函数转换为离散传递函数
sysd=c2d（sysc,t,method）
②建立多项式形式的z传递函数
方法1.sys=tf（num,den,?
t）
方法2.z=tf（'
z'
?
t），再令sys=f（z）
③建立零极点z传递函数
方法1.sys=zpk（z,p,k,?
方法2.z=zpk（'
t），再令sys=f（z）
4.建立z-1格式的传递函数
直接根据分子和分母建立z-1格式的传递函数sys_z=filt（num,den,?
当已有多项式形式的z降幂传递函数时，按以下步骤：
①取z降幂传递函数a的分子多项式系数[num,den]=tfdata（sys_s,'
v'
）
②建立z-1格式的传递函数sys_z=filt（num,den,?
5.将多项式形式的高阶z-1降幂传递函数转换为并联传递函数，按以下步骤：
①“手工”将z-1降幂传递函数a改写成多项式形式的z降幂传递函数b。
②取z降幂传递函数b的分子多项式系数num和分母多项式系数den。
③利用residue函数取z降幂传递函数b的分项分式，[anadak]=residue（num,den）。
分项结果可能出现共轭复数，在这种情况下应将含有共轭复数的分式合并成二次有理质分式。
④根据分项结果手工写出z降幂多项式形式的并联表达式。
⑤“手工”将z降幂多项式形式的并联表达式改写成z-1降幂多项式形式的并联表达式。
⑥“手工”对z-1降幂多项式形式的并联表达式中的每一个分式项降阶，即将每一个分式项变形，使得分式项的分子的阶次比分母的阶次低1阶，变形完毕再将全部常数项合并。
举例
设有z-1降幂传递函数
改写成z降幂传递函数，
取分项矢量[anadak]=residue（nz,dz）
得an=[]
ad=[]
ak=
手工写分项分式，令
，令
又令
故
验证
实际上，大多数数字控制器的传递函数都是一阶或者二阶的，所以需要分解的并不是很多。
6.将高阶z-1降幂传递函数生成串联传递函数
使用zpk函数sys_zpk=zpk（sys_pl）
零极点的概念是相对于z而不是相对于z-1说的，但对于以z-1为变量的降幂传递函数sys_pl来说，仍然可以用zpk（sys_pl）生成以z-1为变量的因式积形式传递函数，权且也称为零极点形式。
zpk函数对于z降幂传递函和z-1降幂传都能得到合理的结果，原因是zpk函数的作用就是把分子多项式和分母多项式分别进行因式分解。
第三节延时环节e-Ts的处理
在建立s传递函数的LTI模型时，对于延时环节e-Ts，可按如下方法处理：
1.在tf函数中使用属性’inputdely’或者’iodely’，例如：
>
>
tf（[1-1],[135],'
inputdelay'
将返回以下形式的传递函数
s–1
exp*s）*--------------
s^2+3s+5
使用这个方法不能建立形如的传递函数，因为带延时的传递函数不能与不带延时的传递函数相加，但可以使用c2d进行离散化，但要求延时时间t必须是采样时间?
t的整数倍，若不是整数倍，则在转换时不理会延时环节，例如：
用tf函数建立2个传递函数，主体部分相同，但一个无输入延时，一个有输入延时，
a=tf（[1-1],[145]）s-1
----------------
s^2+4s+5
a1=tf（[1-1],[145],'
iodelay'
s-1
exp*s）*---------------
s^2+4s+5
若采样时间为，因为延时时间是采样时间的整数倍，转换结果的主体部分完全一样：
c2d（a,,'
imp'
）z^2-z+
------------------------------samplingtime：
z^2-z+
c2d（a1,,'
z^（-7）*-----------------------------samplingtime：
若采样时间为，因为延时时间不是采样时间的整数倍，结果的主体部分不一样：
-----------------------------samplingtime：
）z-
z^（-3）*--------------------samplingtime：
z^2-z+
2.将e-Ts有理化
设，因e-Ts的一阶有理表达式是，故。
为了对ts进行离散化，首先使用tf函数建立lti模型的ts。
若，则。
3.在离散化时使用恒等式
设，因，采样时间为Δt，若T=mΔt，则，因为离散化时总是认为，故取。
根据以上假设，用MATLAB的c2d函数对g（
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