全国百强校浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟二试题Word文件下载.docx

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第I卷（选择题）

评卷人

一、选择题（题型注释）

1、在中，“”是“”的（ 

）

A．充分不必要条件 

B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 

D．既不充分也不必要条件

2、若集合，，，则集合（ 

A． 

B．

C． 

D．

3、若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（ 

4、如图，在四面体中，已知两两互相垂直，且．则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（ 

5、已知函数，则关于的不等式的解集为（ 

6、记为三个数中的最小数，若二次函数有零点，则的最大值为（ 

A．2 

B． 

D．1 

第II卷（非选择题）

二、填空题（题型注释）

7、数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：

“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌．”结果老师只猜对了一个，由此推断：

得金牌、银牌、铜牌的依次是__________．

8、省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有__________种．

9、已知函数，若对于任意的，存在，使得成立，则的取值范围为__________．

10、已知，则的取值范围为__________．

11、已知是偶函数，时， 

（符号表示不超过的最大整数），若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围为__________．

12、已知点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于两点（点在轴的上方），且，则直线的斜率为__________．

13、方程的正整数解为______________（写出所有可能的情况）．

14、一个有限项的数列满足：

任何3个连续项之和都是负数，且任何4个连续项之和都是正数，则此数列项数的最大值为__________．

三、解答题（题型注释）

15、已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．

（1）求实数的值；

（2）用表示中的最小值，设函数，若函数

为增函数，求实数的取值范围．

16、（12分）如图，椭圆 

（）的离心率，短轴的两个端点分别为B1、B2，焦点为F1、F2，四边形F1B1F2B2的内切圆半径为

（1）求椭圆C的方程；

（2）过左焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，交直线于点P，设，，试证为定值，并求出此定值．

17、已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）当方程有两个不等实根时，求的取值范围；

（Ⅲ）设，，，求证，，．

参考答案

1、C

2、D

3、A

4、B

5、D

6、B

7、小乐，小强，小明．

8、42;

9、;

10、;

11、;

12、;

13、;

14、5;

15、

（1）；

（2）.

16、

（1）；

（2）

17、

（1）；

（2）的取值范围为；

（3）见解析．

【解析】

1、试题分析：

由正弦定理可得，在中，“”则，

则，由倍角公式可得，可得

，反之也成立，所以在中，“”是“”的充分必要条件，故选C.

考点：

正弦定理与倍角公式.

2、依题意，，．

由，知；

，知或．

所以，或，即．

故选D；

3、当时，函数的值域为，

当时，，即时，

，且时恒成立．

∴，的取值范围为．

故选A；

4、

如图，设 

（在上，在上，在上）．

由，，

知，，．

∴在面内与点距离为的点形成的曲线段（图中弧）长为．

同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．

所以，该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为．

故选B．

点睛：

想象出在每个截面上的弧线是一个个圆弧，找到相应的圆弧的圆心角，和半径，弧长就求出来了；

5、令，则函数为奇函数且在实数上为增函教，

不等式转化为 

故选D．

6、可以不妨设，因为，所以，故

所以，，

所以 

（当且仅当时取等号）

7、其一，若小明得金牌，则小乐一定不得金牌，不合题意；

其二，小明得银牌时，再以小乐得奖情况分析，若小乐得金牌，小强得铜牌，不合提议，若小乐得铜牌小强得金牌，也不合题意；

其三，若小明得铜牌，仍以小乐得奖情况分类，若小乐得金牌，小强得银牌，则老师才对一个合题意，若小乐得银牌，小强得金牌，则老师对了俩；

不合题意，综上，小明得铜牌，小乐得金牌，小强得银牌．

8、分两类

（1）甲、乙同一天值班，则只能排在1号，有种排法；

（2）甲、乙不在同一天值班，有种排法，故共有42种方法．

故结果为42．

9、函数视作为的函数

问题等价于对于，

由于，所以

所以问题等价于，

即，所以．

故结果为．

双变元问题，先看成函数视作为的函数，求出最值；

再看成x的函数求最值．

10、由及 

有，所

11、作出函数与的草图（如图所示）．

易知直线恒过点，是方程的一个根．

从图像可知，

当，即时，两个函数的图像恰有三个不同的交点．

∴的取值范围为．

方程的根转化为函数的零点，图像的交点问题，且发现直线过定点；

根据图像得到结果．

12、极点在右焦点的极坐标方程为，

从而，可得，，

所以直线的斜率为．

13、．

∴，∴，．

由，知，因此，．

∴，

若，则，，．

将，代入题中方程，得．

若，则，．由知，不存在．

若，则．以，，又，因此，．

经验证只有符合．

将代入题中方程，得．

∴符合条件的正整数解有或．

14、一方面可以构造5项的数列：

符合题设；

另一方面，证明满足条件的数列不超过5项．

否则取出前6项，作出如下排列：

由每行的和为负数，知这12个数之和为负数；

由每列的和为正数，知这12个数之和为正数．

矛盾．

故结果为5．

15、试题分析：

（1）先求导，然后利用导数等于求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得；

（2）设与交点的横坐标为，利用导数求得，从而，然后利用求得的取值范围为.

试题解析：

（1）对求导得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

设直线与曲线切于点，则

，解得，

所以的值为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（2）记函数，下面考察函数的符号，

对函数求导得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

当时，恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

当时，，

从而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

∴在上恒成立，故在上单调递减．

，∴，

又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．

∴；

，，

从而，

∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．

①当时，在上恒成立，即在上恒成立，

记，则，

当变化时，变化情况列表如下：

3

极小值

故“在上恒成立”只需，即．

②当时，，当时，在上恒成立，

综合①②知，当时，函数为增函数．

故实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

函数导数与不等式.

【方法点晴】函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：

一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；

斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得的表达式，然后再求得的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.

16、试题解析：

（1）设四边形F1B1F2B2的内切圆与边B1B2的切点为G，连接OG，则|OG|= 

由S△OB2F2=|OB2||OF2|=|B2F2||OG|，|OB2|=b，|OF2|=c，|B2F2|=a，得bc=a

又∵e=

解得a=2，b= 

故椭圆方程为：

（2）设直线MN的方程为y=k（x+1）代入椭圆方程，整理得

（3+4k2）x2+8k2x+4（k2-3）=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2= 

，x1x2=

又P（-4，-3k），F2（-1，0）

由 

，得

，

∴

∵

∴为定值

本题考查椭圆的几何性质向量共线

点评：

解决本题的关键是利用向量共线，求出即可

17、试题分析：

（1）点的坐标为；

点在上，则

（2）方程的根转化为图像的交点；

（3）裂项求和．

（Ⅰ）函数的图像恒过定点，点的坐标为

又因为点在上，则

即，∴

（Ⅱ） 

由图像可知：

，故的取值范围为．

（Ⅲ）， 

∴ 

，．

主要考查函数零点，方程的根，图像的交点可等价；

再就是数列裂项求和问题．