暨南大学概率论与数理统计标准答案-06-07-2-内AWord文档格式.doc
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必修[√]选修[]
考试方式
开卷[]闭卷[√]
试卷类别(A、B)
[A]共6页
考
生
学院(校)专业班(级)
姓名学号内招[]外招[]
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
总分
得分
得分
评阅人
一、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
1.某班共有30名学生,其中3名来自北京。
今从班上任选2名学生去参观展览,其中恰有1名学生来自北京的概率为27/145。
2.一批产品的废品率为0.1,从中重复抽取件进行检查,这件产品中至少有1件废品的概率为。
3.设连续型随机变量,则1/4。
4.设二元随机变量的联合概率密度函数为
则。
5.设随机变量服从正态分布,则的期望4,
方差9。
二、单选题(共5小题,每小题3分,共15分。
请把正确答案填在题后的括号内)
1.设、、为三个事件,则事件“、、中恰有两个发生”可表示为((c))。
(a);
(b);
(c);
(d)
2.已知随机变量具有如下分布律
,
且,则((a))。
(a)0.5;
(b)0.2;
(c)0;
(d)0.1
3.设随机变量服从二项分布,则的期望和方差分别为((b))。
(a)=10,=0.09;
(b)=10,=9;
(c)=90,=10;
(d)=1,=3
4.设随机变量服从指数分布,其概率密度函数为,则的期望((c))。
(a)4;
(b)2;
(c);
(d)
5.设为总体期望值的三个无偏估计量,且,则以下结论((d))成立。
(a)是的有效估计量;
(b)是比有效的估计量;
(c)是比有效的估计量;
(d)是比有效的估计量
三、计算题(本题12分)
设有相同规格的杯子13个,其中白色7个,绿色6个。
现将其分放在甲、乙两个箱子中,在甲箱子中放入5个白色杯子和3个绿色杯子,其余的放入乙箱子中。
(1)今从甲箱中任取一个杯子放入乙箱,再从乙箱中取出一个杯子,求取到白色杯子的概率。
(2)若
(1)题中从乙箱取出的是白色杯子,求从甲箱中取出绿色杯子放入乙箱的概率。
解用表示事件:
“从乙箱中取出一个杯子为白色杯子”;
表示事件:
“从甲箱中任取一个放入乙箱的杯子为白色杯子”;
“从甲箱中任取一个放入乙箱的杯子为绿色杯子”。
(1)由全概率公式,所求事件的概率为:
(7分)
(2)由贝叶斯公式,所求事件的概率为:
(12分)
四、计算题(本题8分)
设随机变量服从正态分布,求及。
解由于,则。
于是
五、证明题(本题10分)
设总体的概率密度函数为(),为总体的一组样本观察值。
试证明的最大似然估计为,其中为样本观察值的平均数。
证明似然函数为,
,(3分)
令得:
(7分)
由上述方程组解得的最大似然估计分别为
,.(10分)
于是结论得证.
六、应用题(本题10分)
已知一批零件的长度(单位:
dm)服从正态分布,从中随机抽取9个零件,测得其长度如下:
6.11,5.89,5.98,6.00,6.10,5.90,6.02,5.90,6.10,
试求置信度为0.995的期望的置信区间。
解令,,。
样本的平均数为
由及参考数据得.(4分)
于是,从而置信度为0.995的期望的置信区间为:
,即,即.
(10分)
七、应用题(本题11分)
设在某次全国资格考试中考生的成绩服从正态分布,从中随机地抽取25位考生的成绩,算得平均成绩为65分,标准差为10分。
问能否据此样本认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?
()
解设考生的成绩为,则,其中未知.
(1)待检假设为.
(2)作样本的统计量:
,其中,则在的假设下,
(3)对给定的检验水平,由及参考数据得临界值
(6分)
(4)根据给定的样本平均数及样本方差,实际计算
(5)由于,故应拒绝接受假设,从而据此样本不能认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.(11分)
八、应用题(本题10分)
某种羊毛在处理前后,各抽取容量为10和8的样本,测得其含脂率(%)的样本方差分别为270.9和301.0。
假定羊毛含脂率服从正态分布,问处理后羊毛含脂率的标准差有无显著变化?
()
解设羊毛在处理前后的含脂率分别为及,则(其中未知,)
(1)待检假设为
(2)作羊毛的含脂率在处理前(容量为10)和处理后(容量为8)的样本的统计量:
(7分)
(4)根据给定的样本方差值,实际计算
(5)由于,故应接受假设,即可认为处理后羊毛含脂率的标准差无显著变化.(10分)
九、应用题(本题9分)
设广州市天河区每户居民每月对某种商品的需要量是一个随机变量(单位:
kg),其期望值为10,方差为4。
某商店为天河区10000户居民供应此种商品,问每月至少要准备多少此种商品才能以0.99的概率满足需要?
(假设每户居民每月对此种商品的需要量互不受影响)
(附第四和第六—九题的参考数据如下:
,,,,,,,,,,,,,)
解设广州市天河区每户居民每月对某种商品的需要量为,由已知条件有,则10000户居民每月对某种商品的需要量为,于是
设某商店每月至少要准备kg此种商品才能以0.99的概率满足需要,故
,(4分)
由中心极限定理,近似地服从标准正态分布,从而
由参考数据有,所以(kg).(9分)
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