最新的第二十届全国高中生物理竞赛复赛试题及答案Word格式.docx
《最新的第二十届全国高中生物理竞赛复赛试题及答案Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新的第二十届全国高中生物理竞赛复赛试题及答案Word格式.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
己知＝20，地球半径＝6400km．假定地球是质量均匀分布的球体，通道是光滑的，两物体间的碰撞是弹性的．
四、（20分）如图所示，一半径为、折射率为的玻璃半球，放在空气中，平表面中央半径为的区域被涂黑．一平行光束垂直入射到此平面上，正好覆盖整个表面．为以球心为原点，与平而垂直的坐标轴．通过计算，求出坐标轴上玻璃半球右边有光线通过的各点（有光线段）和无光线通过的各点（无光线段）的分界点的坐标．
五、（22分）有一半径为的圆柱A，静止在水平地面上，并与竖直墙面相接触．现有另一质量与A相同，半径为的较细圆柱B，用手扶着圆柱A，将B放在A的上面，并使之与墙面相接触，如图所示，然后放手．
己知圆柱A与地面的静摩擦系数为0.20，两圆柱之间的静摩擦系数为0.30．若放手后，两圆柱体能保持图示的平衡，问圆柱B与墙面间的静摩擦系数和圆柱B的半径的值各应满足什么条件？
六、（23分）两个点电荷位于轴上，在它们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则在正轴上各点的电势如图中曲线所示，当时，电势：
当时，电势；
电势为零的点的坐标,电势为极小值的点的坐标为（＞2）。
试根据图线提供的信息，确定这两个点电荷所带电荷的符号、电量的大小以及它们在轴上的位置．
七、（25分）如图所示，将一铁饼状小物块在离地面高为处沿水平方向以初速抛出．己知物块碰地弹起时沿竖直方向的分速度的大小与碰前沿竖直方向的分速度的大小之比为（＜1＝．又知沿水平方向物块与地面之间的滑动摩擦系数为（≠0）：
每次碰撞过程的时间都非常短，而且都是“饼面”着地．求物块沿水平方向运动的最远距离．
第二十届全国中学生物理竞赛复赛试题参考解答、评分标准
一、参考解答
令表示质子的质量，和分别表示质子的初速度和到达a球球面处的速度，表示元电荷，由能量守恒可知
（1）
因为a不动，可取其球心为原点，由于质子所受的a球对它的静电库仑力总是通过a球的球心，所以此力对原点的力矩始终为零，质子对点的角动量守恒。
所求的最大值对应于质子到达a球表面处时其速度方向刚好与该处球面相切（见复解20-1-1）。
以表示的最大值，由角动量守恒有
（2）
由式
（1）、
（2）可得
（3）
代入数据，可得
（4）
若把质子换成电子，则如图复解20-1-2所示，此时式
（1）中改为。
同理可求得
（5）
评分标准：
本题15分。
式
（1）、
（2）各4分，式（4）2分，式（5）5分。
二、参考解答
在温度为时，气柱中的空气的压强和体积分别为
，
（1）
当气柱中空气的温度升高时，气柱两侧的水银将被缓慢压入A管和B管。
设温度升高到时，气柱右侧水银刚好全部压到B管中，使管中水银高度增大
（3）
由此造成气柱中空气体积的增大量为
与此同时，气柱左侧的水银也有一部分进入A管，进入A管的水银使A管中的水银高度也应增大，使两支管的压强平衡，由此造成气柱空气体积增大量为
（5）
所以，当温度为时空气的体积和压强分别为
（6）
（7）
由状态方程知
（8）
由以上各式，代入数据可得
K（9）
此值小于题给的最终温度K，所以温度将继续升高。
从这时起，气柱中的空气作等压变化。
当温度到达时，气柱体积为
（10）
代入数据可得
（11）
求得式（6）给6分，式（7）1分，式（9）2分，式（10）5分，式（11）1分。
三、参考解答
位于通道内、质量为的物体距地心为时（见图复解20-3），它受到地球的引力可以表示为
，
（1）
式中是以地心为球心、以为半径的球体所对应的那部分地球的质量，若以表示地球的密度，此质量可以表示为
（2）
于是，质量为的物体所受地球的引力可以改写为
作用于质量为的物体的引力在通道方向的分力的大小为
（4）
为与通道的中垂线间的夹角，为物体位置到通道中
点的距离，力的方向指向通道的中点。
在地面上物体的重力可以表示为
（6）
式中是地球的质量。
由上式可以得到
（7）
由以上各式可以求得
（8）
可见，与弹簧的弹力有同样的性质，相应的“劲度系数”为
（9）
物体将以为平衡位置作简谐振动，振动周期为。
取处为“弹性势能”的零点，设位于通道出口处的质量为的静止物体到达处的速度为，则根据能量守恒，有
（10）
式中表示地心到通道的距离。
解以上有关各式，得
（11）
可见，到达通道中点的速度与物体的质量无关。
设想让质量为的物体静止于出口处，质量为的物体静止于出口处，现将它们同时释放，因为它们的振动周期相同，故它们将同时到达通道中点处，并发生弹性碰撞。
碰撞前，两物体速度的大小都是，方向相反，刚碰撞后，质量为的物体的速度为，质量为的物体的速度为，若规定速度方向由向为正，则有
，（12）
（13）
解式（12）和式（13），得
（14）
质量为的物体是待发射的卫星，令它回到通道出口处时的速度为，则有
（15）
由式（14）、（15）、（16）和式（9）解得
（16）
的方向沿着通道。
根据题意，卫星上的装置可使的方向改变成沿地球处的切线方向，如果的大小恰能使小卫星绕地球作圆周运动，则有
（17）
由式（16）、（17）并注意到式（6），可以得到
（18）
已知m，则得
（19）
本题20分。
求得式（11）给7分，求得式（16）给6分，式（17）2分，式（18）3分，式（19）2分。
四、参考解答
图复解20-4-1中画出的是进入玻璃半球的任一光线的光路（图中阴影处是无光线进入的区域），光线在球面上的入射角和折射角分别为和，折射光线与坐标轴的交点在。
令轴上的距离为，的距离为，根据折射定律，有
在中
由式
（1）和式
（2）得
再由式（3）得
设点到的距离为，有
得
解式（4）可得
为排除上式中应舍弃的解，令，则处应为玻璃半球在光轴上的傍轴焦点，由上式
由图可知，应有，故式（5）中应排除±
号中的负号，所以应表示为
上式给出随变化的关系。
因为半球平表面中心有涂黑的面积，所以进入玻璃半球的光线都有，其中折射光线与轴交点最远处的坐标为
在轴上处，无光线通过。
随增大，球面上入射角增大，当大于临界角时，即会发生全反射，没有折射光线。
与临界角相应的光线有
这光线的折射线与轴线的交点处于
在轴上处没有折射光线通过。
由以上分析可知，在轴上玻璃半球以右
的一段为有光线段，其它各点属于无光线段。
与就是所要求的分界点，如图复解20-4-2所示
求得式（7）并指出在轴上处无光线通过，给10分；
求得式（8）并指出在轴上处无光线通过，给6分；
得到式（9）并指出上有光线段的位置，给4分。
五、参考解答
放上圆柱B后，圆柱B有向下运动的倾向，对圆柱A和墙面有压力。
圆柱A倾向于向左运动，对墙面没有压力。
平衡是靠各接触点的摩擦力维持的。
现设系统处于平衡状态，取圆柱A受地面的正压力为，水平摩擦力为；
圆柱B受墙面的正压力为，竖直摩擦力为，圆柱A受圆柱B的正压力为，切向摩擦力为；
圆柱B受圆柱A的正压力为，切向摩擦力为，如图复解20-5所示。
各力以图示方向为正方向。
已知圆柱A与地面的摩擦系数＝0.20，两圆柱间的摩擦系数＝0.30。
设圆柱B与墙面的摩擦系数为，过两圆柱中轴的平面与地面的交角为。
设两圆柱的质量均为，为了求出、、以及为保持平衡所需的、、之值，下面列出两圆柱所受力和力矩的平衡方程：
圆柱A：
圆柱B：
由于，所以得
式中代表，，和的大小。
又因，于是式
（1）、
（2）、（4）和（5）四式成为：
以上四式是，，和的联立方程，解这联立方程可得
（12）
（13）
（15）
式（12）、（13）、（14）和（15）是平衡时所需要的力，，，没有问题，但，，三个力能不能达到所需要的数值，即式（12）、（14）要受那里的摩擦系数的制约。
三个力中只要有一个不能达到所需的值，在那一点就要发生滑动而不能保持平衡。
首先讨论圆柱B与墙面的接触点。
接触点不发生滑动要求
由式（12），得
所以
再讨论圆柱A与地面的接触点的情形。
按题设此处的摩擦系数为＝0.20，根据摩擦定律，若上面求得的接地点维持平衡所需的水平力满足，则圆柱在地面上不滑动；
若，这一点将要发生滑动。
圆柱A在地面上不发生滑动的条件是
（17）
由图复解20-5可知
（18）
由式（17）、（18）和式（19）以及＝0.20，可以求得
（20）
即只有当时，圆柱A在地面上才能不滑动。
最后讨论两圆柱的接触点。
（21）
由式（18）、（19）以及＝0.30，可解得
（22）
显然，在平衡时，的上限为。
总结式（20）和式（22），得到满足的条件为
（23）
本题22分。
求得式（7）、（12）、（13）、（14）、（15）各2分，式（16）3分，求得式（23）9分。
六、参考解答
在点电荷形成的电场中一点的电势与离开该点电荷的距离成反比。
因为取无限远处为电势的零点，故正电荷在空间各点的电势为正；
负电荷在空间各点的电势为负。
现已知处的电势为零，故可知这两个点电荷必定是一正一负。
根据所提供的电势的曲线，当考察点离坐标原点很近时，电势为正，且随的减小而很快趋向无限大，故正的点电荷必定位于原点处，以表示该点电荷的电量。
当从0增大时，电势没有出现负无限大，即没有经过负的点电荷，
升级会员 