湖北省襄阳四中学年高二下学期期中复习圆锥曲线理科word版含答案Word格式.docx

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7．已知、分别是椭圆（）的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是

8．已知圆的一条切线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是

9．已知双曲线：

的左、右焦点分别为，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线分别交双曲线左、右支于另一点，，且，则双曲线的离心率为（）

10．已知直线是抛物线的准线，是上的一动点，则到直线与直线的距离之和的最小值为（）

A.B.C.6D.

11．已知抛物线，过焦点作直线与抛物线交于点，设，，则的最小值为

A.2B.3C.D.4

12．已知抛物线的焦点为，过点倾斜角为的直线交抛物线于两点，若在以线段为直径的圆的外部，则的取值范围为（）

13．已知双曲线（）的实轴端点分别为，记双曲线的其中一个焦点为，一个虚轴端点为，若在线段上（不含端点）有且仅有两个不同的点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是（）

三、圆锥曲线综合问题

14．平面直角坐标系中，椭圆：

的离心率为，过椭圆右焦点作两条互相垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6.

（1）求椭圆的方程；

（2）是抛物线：

上两点，且处的切线相互垂直，直线与椭圆相交于两点，求弦的最大值.

15．已知曲线在轴的上方，且曲线上的任意一点到点的距离比到直线的距离都小于1.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设，过点的直线与曲线相交于两点.

①若是等边三角形，求实数的值；

②若，求实数的取值范围.

16．已知椭圆：

，以椭圆的短轴为直径的圆经过椭圆左右两个焦点，是椭圆的长轴端点．

（1）求圆的方程和椭圆的离心率；

（2）设，分别是椭圆和圆上的动点（，位于轴两侧），且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，试判断与所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；

若不是，也请说明理由．

易错再练：

1．动点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2，则动点的轨迹方程是.

2．已知双曲线，过点能否作一条直线，与双曲线交于、两点，且点是线段的中点？

特奥专供：

1．祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子.他提出

了一条原理：

“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：

两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等.设由椭圆所围成的平面图形绕轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图）（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于____________．

2．已知平面平面，，，且，.是正方形，在正方形内部有一点，满足与平面所成的角相等，则点的轨迹长度为（）

3．已知抛物线内一定点，过点分别作斜率为的两条直线，交抛物线于和四点，设分别为线段和的中点．

（1）当且时，求的面积的最小值；

（2）若（为常数，且），证明：

直线过定点，并求出定点坐标．

襄阳四中2018届高二（下）数学（理）期中考试复习参考答案

——圆锥曲线

1．【答案】B【解析】根据题意知：

所以有，且焦点在轴，故方程为，选B.

2．【答案】C【解析】焦点坐标是,选C.

3．【答案】D【解析】由题知，则，抛物线的准线方程为．故本题选．

4．【答案】A【解析】由题可知，则．渐近线方程为，则．又可得，．所以双曲线的方程为；

故本题答案选．

5．【答案】A

【解析】设，则，又，所以，，故选A．

6．【答案】D【解析】试题分析：

设定圆、的半径分别为、，不妨设，由于两定圆、无公共点，则圆、相离或内含，设动圆的半径为，则，，

若定圆、相离，则，则定圆、同时内切于动圆，则，，则，，则，此时动点的轨迹是双曲线的一支；

若定圆内含于圆，则，此时动圆内切于定圆，定圆内切于动圆，则，则，，

，此时动点的轨迹是椭圆，故选D.

7．【答案】A【解析】由题设可知点在以为直径端点的圆上，由此可得该圆的半径，即，也即，故应选答案A。

点睛：

解答本题的难点是如何借助题设条件建立不等式，然后再探求其范围。

求解时先理解“椭圆上存在点，使得”，从而运用等价转化的数学思想将其等价转化为，通过解不等式使得问题简捷巧妙获解。

8．【答案】B【解析】由题意，圆心到直线的距离，∴，∵圆的一条切线与双曲线C：

没有交点，∴，

∴，∵双曲线的离心率，∴双曲线的离心率的取值范围是，故选B.

9．【答案】B【解析】由题意，，连接,根据双曲线的对称性可得为平行四边形，，由余弦定理可得，故选B.

【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.

10．【答案】C【解析】由抛物线的定义可知点到准线的距离等于；

点到直线的距离；

结合图形可知当且仅当三点共线时，距离之和最小，其最小值为点到直线的距离，即，应选答案C。

本题旨在考查抛物线的标准方程与几何性质、点到直线的距离公式等基础知识与方法以及等价转化与化归、数形结合等许多数学思想与方法。

求解时先运用抛物线的定义将动点到直线（准线）的距离等价转化为到抛物线的焦点的距离，然后数形结合将问题转化为焦点到直线的距离，从而使得问题简捷、巧妙获解。

11．【答案】D【解析】过焦点作直线与抛物线交于点，，设，又抛物线的性质可知，有，当且仅当时取到最小值，故选D.

解决本题时利用了常用结论：

过焦点作直线与抛物线交于点,则有，得到，进而利用基本不等式即可，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

12．【答案】A【解析】设直线方程为，由得：

，所以，，设，则，点，因为点在以为直径的圆外，所以，即，，，

，所以，解得或，又，综上有．故选A．

在直线与圆锥曲线相交问题中，一定要注意相交的条件，把直线方程与圆锥曲线方程联立后消去一个未知数得中一未知数的二次方程时，一定要注意用判别式＞0来求得参数的取值范围，下面与此参数有关的问题一定要在此范围内求解，否则易出错．如本题不考虑此范围，会得出错误结论．

13．【答案】A【解析】由于在线段上（不含端点）有且仅有两个不同的点,使得,说明以为直径的圆与有两个交点.首先要满足,即,另外还要满足原点到直线（不妨取为双曲线的上焦点,为右端点）的距离小于半径,因为原点到直线的距离为,则,整理得,即,解得.综上可知.故选.

点晴：

本题考查的是双曲线的离心率的求法.关键是构建等式和不等式最终确定离心率的求法.

分析题意可得出构成以为斜边的直角三角形，结合求出再由得出的关系式，然后进行求解，即可确定的取值范围，使问题得解.

14．解析：

（1）设椭圆方程为，由题意，得，解得，则该椭圆的标准方程为；

（2）设直线，，，

由，得：

，故，，

由，得，故切线的斜率分别为，，

再由，得，即，故，

这说明直线过抛物线的焦点.由，得，

从而，当且仅当取等号.

15．解析：

（Ⅰ）设点曲线上任意一点，由题设有，

于是，整理得.

由于曲线在轴的上方，所以.所以曲线的方程为.

（Ⅱ）设.由题意，即，

于是，将代入，得，由，得.从而，所以.因为是等边三角形，

所以.将代入，，解得，此时.（此题也可结合抛物线性质求解，其它解法酌情给分）

设直线，联立得，，

.

，

于是.

因为，即.因，从而.

解得.

本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：

因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．

16．解析：

（1）由椭圆定义可得，又且，解得，，则圆的方程为，椭圆的离心率．

（2）如图所示，设（），，则即

又由：

，得．由：

，得．

所以，，

所以，所以，即与所在的直线互相垂直．

本题考查椭圆方程和圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和基本量的关系，考查定值问题的解法，注意运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：

数量积为0，考查直线方程和椭圆方程联立，求交点，考查化简整理的运算能力，属于中档题.

1.或；

2.不存在

1.【答案】【解析】椭圆的长半轴为，短半轴为b，现构造一个底面半径为b，高为的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积.

【点睛】将椭球体体积转化为圆柱体积与同底的圆锥的体积的差。

2.【答案】C【解析】根据题意，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图1所示，则，，设，易知直线与平面所的角分别为，均为锐角，且，所以，即，因此，整理得，由此可得，点在正方形内的轨迹是以点为圆心，半径为的圆弧上，如图2所示，易知圆心角，所以.故选C.

此题主要考查了线面角、坐标法、弧长公式、轨迹方程等各方面的知识，属于中高档题，同时这些知识点也是高频考点，在问题的解决过程中，经历了平面图形立体图形建系代数运算建模平面图形的过程，加强了知识点的综合性，充分体现了“坐标法”在解决几何问题中的优越性.

3．解析：

显然直线、均不与轴平行，所以令的方程为．

由得．设，，则有，，得的中点．令的方程为，同理得的中点．

（1）当时，，，，则，．　因为，，所以由，得.

当时，，则

．

所以当，即时，的面积的最小值为．　

（2）由，，得，所以直线的方程为．因为，即，所以．

于是直线的方程为，即．

由解得所以直线w恒过定点．