届高考数学复习导数的应用一练习题文档格式.docx
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A.B．1
C．0D．不存在
f′（x）＝x－＝，且x>
0.令f′（x）>
0，得x>
1；
令f′（x）<
0，得0<
x<
1.
∴f（x）在x＝1处取得最小值，且f
（1）＝－ln1＝.
6．已知常数a，b，c都是实数，f（x）＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′（x），f′（x）≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f（x）的极小值等于－115，则a的值是（ ）
A．－B.
C．2D．5
由题意知，f′（x）＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集为[－2,3]，且在x＝3处取得极小值－115，
故有
解得a＝2.
C
7．当函数y＝x·
2x取极小值时，x＝（ ）
A.B．－
C．－ln2D．ln2
令y′＝2x＋x·
2xln2＝0，∴x＝－.
8．已知函数f（x）的导函数为f′（x），若x2f′（x）＋xf（x）＝sinx（x∈（0,6）），f（π）＝2，则下列结论正确的是（ ）
A．xf（x）在（0,6）上单调递减
B．xf（x）在（0,6）上单调递增
C．xf（x）在（0,6）上有极小值2π
D．xf（x）在（0,6）上有极大值2π
因为x2f′（x）＋xf（x）＝sinx，x∈（0,6），所以xf′（x）＋f（x）＝，设g（x）＝xf（x），x∈（0,6），则g′（x）＝f（x）＋xf′（x）＝，由g′（x）>
0得0<
π，g′（x）<
0得π<
6，所以当x＝π时，函数g（x）＝xf（x）取得极大值g（π）＝πf（π）＝2π.
D
二、填空题
9．曲线y＝x2＋在点（1,2）处的切线方程为________．
∵y′＝2x－，∴y′|x＝1＝1，
即曲线在点（1,2）处的切线的斜率k＝1，
∴切线方程为y－2＝x－1，
即x－y＋1＝0.
x－y＋1＝0
10．设函数f（x）＝x（ex－1）－x2，则函数f（x）的单调增区间为________．
因为f（x）＝x（ex－1）－x2，所以f′（x）＝ex－1＋xex－x＝（ex－1）（x＋1）．令f′（x）>
0，即（ex－1）·
（x＋1）>
0，解得x∈（－∞，－1）或x∈（0，＋∞）．所以函数f（x）的单调增区间为（－∞，－1）和（0，＋∞）．
（－∞，－1）和（0，＋∞）
11．函数f（x）＝x3－3x2＋6在x＝________时取得极小值．
依题意得f′（x）＝3x（x－2）．当x<
0或x>
2时，f′（x）>
0；
当0<
2时，f′（x）<
0.因此，函数f（x）在x＝2时取得极小值．
2
12．（2017·
高考全国卷Ⅰ）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA,△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：
cm3）的最大值为________．
如图，连接OD，交BC于点G，
由题意，知OD⊥BC，OG＝BC.
设OG＝x，则BC＝2x，DG＝5－x，
三棱锥的高h＝
＝＝，
S△ABC＝×
2x×
3x＝3x2，则三棱锥的体积
V＝S△ABC·
h＝x2·
＝·
.
令f（x）＝25x4－10x5，x∈，则f′（x）＝100x3－50x4.
令f′（x）＝0得x＝2.当x∈（0,2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，故当x＝2时，f（x）取得最大值80，则V≤×
＝4.
∴三棱锥体积的最大值为4cm3.
4cm3
三、解答题
13．已知函数f（x）＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线垂直于直线y＝x.
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
（1）对f（x）求导得f′（x）＝－－，由f（x）在点（1，f
（1））处的切线垂直于直线y＝x知f′
（1）＝－－a＝－2，解得a＝.
（2）由
（1）知f（x）＝＋－lnx－，
则f′（x）＝，
令f′（x）＝0，解得x＝－1或x＝5.
因x＝－1不在f（x）的定义域（0，＋∞）内，故舍去．
当x∈（0,5）时，f′（x）<
0，故f（x）在（0,5）内为减函数；
当x∈（5，＋∞）时，f′（x）>
0，故f（x）在（5，＋∞）内为增函数．由此知函数f（x）在x＝5时取得极小值f（5）＝－ln5.
14．设函数f（x）＝（a∈R）．
（1）若f（x）在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程；
（2）若f（x）在[3，＋∞）上为减函数，求a的取值范围．
（1）对f（x）求导得f′（x）＝＝，
因为f（x）在x＝0处取得极值，所以f′（0）＝0，即a＝0.
当a＝0时，f（x）＝，f′（x）＝，
故f
（1）＝，f′
（1）＝，
从而f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程为y－＝（x－1），
化简得3x－ey＝0.
（2）由
（1）知f′（x）
＝
令g（x）＝－3x2＋（6－a）x＋a，
由g（x）＝0解得x1＝，
x2＝.
当x<
x1时，g（x）<
0，即f′（x）<
0，故f（x）为减函数；
当x1<
x2时，g（x）>
0，即f′（x）>
0，
故f（x）为增函数；
当x>
x2时，g（x）<
0，故f（x）为减函数．
由f（x）在[3，＋∞）上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥－，故a的取值范围为.
15．（2017·
高考北京卷）已知函数f（x）＝excosx－x.
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．
（1）因为f（x）＝excosx－x，
所以f′（x）＝ex（cosx－sinx）－1，f′（0）＝0.
又因为f（0）＝1，
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝1.
（2）设h（x）＝ex（cosx－sinx）－1，则
h′（x）＝ex（cosx－sinx－sinx－cosx）＝－2exsinx.
当x∈时，h′（x）＜0，
所以h（x）在区间上单调递减．
所以对任意x∈有h（x）＜h（0）＝0，即f′（x）＜0.
所以函数f（x）在区间上单调递减．
因此f（x）在区间上的最大值为f（0）＝1，最小值为f＝－.
B组——高考能力提速练
1．函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a>
0，b<
0，c>
0，d>
B．a>
0，c<
C．a<
D．a>
0，b>
0，d<
∵函数f（x）的图象在y轴上的截距为正值，∴d>
0.∵f′（x）＝3ax2＋2bx＋c，且函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d在（－∞，x1）上单调递增，（x1，x2）上单调递减，（x2，＋∞）上单调递增，∴f′（x）<
0的解集为（x1，x2），∴a>
0，又x1，x2均为正数，∴>
0，－>
0，可得c>
0.
2．设函数f（x）＝x－2sinx是区间上的减函数，则实数t的取值范围是（ ）
A.（k∈Z）
B.（k∈Z）
C.（k∈Z）
D.（k∈Z）
由题意得f′（x）＝1－2cosx≤0，即cosx≥，解得2kπ－≤x≤2kπ＋（k∈Z），∵f（x）＝x－2sinx是区间上的减函数，∴⊆，∴2kπ－≤t≤2kπ－（k∈Z），故选A.
3．（2017·
重庆模拟）若直线y＝ax是曲线y＝2lnx＋1的一条切线，则实数a＝（ ）
依题意，设直线y＝ax与曲线y＝2lnx＋1的切点的横坐标为x0，则有y′|x＝x0＝，于是有
解得x0＝，a＝＝2，选B.
4．已知函数f（x）＝x3＋3x2－9x＋1，若f（x）在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为（ ）
A．[－3，＋∞）B．（－3，＋∞）
C．（－∞，－3）D．（－∞，－3]
由题意知f′（x）＝3x2＋6x－9，令f′（x）＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：
x
（－∞，－3）
－3
（－3，1）
1
（1，＋∞）
f′（x）
＋
－
f（x）
单调递增
极大值
单调递减
极小值
又f（－3）＝28，f
（1）＝－4，f
（2）＝3，f（x）在区间[k,2]上的最大值为28，所以k≤－3.
5．（2017·
湖南四校联考）已知S1＝xdx，S2＝exdx，S3＝x2dx，则S1，S2，S3的大小关系为（ ）
A．S1<
S2<
S3B．S1<
S3<
S2
C．S3<
S1D．S2<
S1
本题考查定积分的几何意义．由题意得xdx，exdx，x2dx分别表示函数y＝x，y＝ex，y＝x2与x轴，x＝1，x＝2所围成的封闭图形的面积，由图（图略）易得xdx<
x2dx<
exdx，即S1<
S2，故选B.
6．若函数f（x）＝xex－a有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．－<
a<
0B．a>
C．－e<
0D．0<
e
构造函数g（x）＝xex，则g′（x）＝ex（x＋1），因为ex>
0，所以由g′（x）＝0，解得x＝－1，
－1时，g′（x）>
0，函数g（x）为增函数；
－1时，g′（x）<
0，函数g（x）为减函数，所以当x＝－1时函数g（x）有最小值：
g（－1）＝－e－1＝－.画出函数y＝xex的图象，如图所示，显然当－<
0时，函数f（x）＝xex－a有两个零点，故选A.
7．设函数f（x）＝在[－2,2]上的最大值为2，则实数a的取值范围是（ ）
C．（－∞，
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