南京市高三年级第三次模拟考试数学试题解析版Word下载.docx

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其中所有真命题的序号是．②

9．将函数f（x）＝sin（3x＋）的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，则函数y＝g（x）在[，]上的最小值为．－

10．已知数列{an}满足an＝an－1－an－2（n≥3，n∈N*），它的前n项和为Sn．若S9＝6，S10＝5，则a1的值为．1

11．已知函数f（x）＝，则关于x的不等式f（x2）＞f（3－2x）的解集是．

（－∞，－3）∪（1，3）

12．在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则·

的取值范围为．[，2]

13．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x－1）2＋y2＝4，P为圆C上一点．若存在一个定圆M，过P作圆M的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，当P在圆C上运动时，使得∠APB恒为60︒，则圆M的方程为．（x－1）2＋y2＝1

14．设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数）的导函数为f′（x）．对任意x∈R，不等式f（x）≥f′（x）恒成立，则的最大值为．2－2

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）

15．（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＋1＝．

（1）求B；

（2）若cos（C＋）＝，求sinA的值．

解：

（1）由＋1＝及正弦定理，得＋1＝，

所以＝，即＝，则＝．

因为在△ABC中，sinA≠0，sinC≠0，

所以cosB＝．

因为B（0，π），所以B＝．

（2）因为0＜C＜，所以＜C＋＜．

因为cos（C＋）＝，所以sin（C＋）＝．

所以sinA＝sin（B＋C）＝sin（C＋）＝sin[（C＋）＋]

＝sin（C＋）cos＋cos（C＋）sin

＝．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P－ABCD中，O为AC与BD的交点，AB⊥平面PAD，△PAD是正三角形，

DC//AB，DA＝DC＝2AB.

（1）若点E为棱PA上一点，且OE∥平面PBC，求的值；

（2）求证：

平面PBC⊥平面PDC.

证

（1）因为OE∥平面PBC，OE⊂平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC，所以OE∥PC，

所以AO∶OC＝AE∶EP．

因为DC//AB，DC＝2AB，所以AO∶OC＝AB∶DC＝1∶2.

所以＝．

（2）法一：

取PC的中点F，连结FB，FD．

因为△PAD是正三角形，DA＝DC，所以DP＝DC．

因为F为PC的中点，所以DF⊥PC.

因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥PA，AB⊥AD，AB⊥PD．

因为DC//AB，所以DC⊥DP，DC⊥DA．

设AB＝a，在等腰直角三角形PCD中，DF＝PF＝a．

在Rt△PAB中，PB＝a．

在直角梯形ABCD中，BD＝BC＝a．

因为BC＝PB＝a，点F为PC的中点，所以PC⊥FB．

在Rt△PFB中，FB＝a．

在△FDB中，由DF＝a，FB＝a，BD＝a，可知DF2＋FB2＝BD2，所以FB⊥DF．

由DF⊥PC，DF⊥FB，PC∩FB＝F，PC、FB⊂平面PBC，所以DF⊥平面PBC．

又DF⊂平面PCD，所以平面PBC⊥平面PDC．

法二：

取PD，PC的中点，分别为M，F，连结AM，FB，MF，

所以MF∥DC，MF＝DC．

因为DC//AB，AB＝DC，所以MF∥AB，MF＝AB，

即四边形ABFM为平行四边形，所以AM∥BF．

在正三角形PAD中，M为PD中点，所以AM⊥PD．

因为AB⊥平面PAD，所以AB⊥AM．

又因为DC//AB，所以DC⊥AM．

因为BF//AM，所以BF⊥PD，BF⊥CD．

又因为PD∩DC＝D，PD、DC⊂平面PCD，所以BF⊥平面PCD．

因为BF⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC.

17．（本小题满分14分）

某种树苗栽种时高度为A（A为常数）米，栽种n年后的高度记为f（n）．经研究发现f（n）近似地满足f（n）＝，其中t＝2，a，b为常数，n∈N，f（0）＝A．已知栽种3年后该树木的高度为栽种时高度的3倍．

（1）栽种多少年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍；

（2）该树木在栽种后哪一年的增长高度最大．

（1）由题意知f（0）＝A，f（3）＝3A．

所以解得a＝1，b＝8．

所以f（n）＝，其中t＝2．

令f（n）＝8A，得＝8A，解得tn＝，

即2＝，所以n＝9．

所以栽种９年后，该树木的高度是栽种时高度的8倍．

（2）由

（1）知f（n）＝．

第n年的增长高度为△＝f（n）－f（n－1）＝－．

所以△＝＝

＝

≤＝＝．

当且仅当64tn＝，即2＝时取等号，此时n＝5．

所以该树木栽种后第5年的增长高度最大．

18．（本小题满分16分）

已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）过点P（－1，－1），c为椭圆的半焦距，且c＝b．过点P作

两条互相垂直的直线l1，l2与椭圆C分别交于另两点M，N．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线l1的斜率为－1，求△PMN的面积；

（3）若线段MN的中点在x轴上，求直线MN的方程．

（1）由条件得＋＝1，且c2＝2b2，所以a2＝3b2，解得b2＝，a2＝4．

所以椭圆方程为：

＋＝1．

（2）设l1方程为y＋1＝k（x＋1），

联立消去y得（1＋3k2）x2＋6k（k－1）x＋3（k－1）2－4＝0．

因为P为（－1，1），解得M（，）．

当k≠0时，用－代替k，得N（，）．

将k＝－1代入，得M（－2，0），N（1，1）．

因为P（－1，－1），所以PM＝，PN＝2，

所以△PMN的面积为×

×

2＝2．

（3）解法一：

设M（x1，y1），N（x2，y2），则

两式相减得（x1＋x2）（x1－x2）＋3（y1＋y2）（y1－y2）＝0，

因为线段MN的中点在x轴上，所以y1＋y2＝0，从而可得（x1＋x2）（x1－x2）＝0．

若x1＋x2＝0，则N（－x１，－y１）．

　　因为PM⊥PN，所以·

＝0，得x12＋y12＝2．

又因为x12＋3y12＝4，所以解得x1＝±

1，所以M（－1，1），N（1，－1）或M（1，－1），N（－1，1）．

所以直线MN的方程为y＝－x．

若x1－x2＝0，则N（x1，－y1），

因为PM⊥PN，所以·

＝0，得y12＝（x1＋1）2＋1．

又因为x12＋3y12＝4，所以解得x1＝－或－1，

经检验：

x＝－满足条件，x＝－1不满足条件．

综上，直线MN的方程为x＋y＝0或x＝－．

解法二：

由

（2）知，当k≠0时，因为线段MN的中点在x轴上，所以＝－，

化简得4k（k2－4k－1）＝0，解得k＝2±

．

若k＝2＋，则M（－，），N（－，－），此时直线MN的方程为x＝－．

若k＝2－，则M（－，－），N（－，），此时直线MN的方程为x＝－．

当k＝0时，M（1，－1），N（－1，1），满足题意，此时直线MN的方程为x＋y＝0．

综上，直线MN的方程为x＝－或x＋y＝0．

19．（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝lnx－mx（mR）．

（1）若曲线y＝f（x）过点P（1，－1），求曲线y＝f（x）在点P处的切线方程；

（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值；

（3）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，求证：

x1x2＞e2．

（1）因为点P（1，－1）在曲线y＝f（x）上，所以－m＝－1，解得m＝1．

因为f′（x）＝－1，所以切线的斜率为0，所以切线方程为y＝－1．

（2）因为f′（x）＝－m＝．

①当m≤0时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，则f（x）max＝f（e）＝1－me．

②当≥e，即0＜m≤时，x∈（1，e），f′（x）＞0，所以函数f（x）在（1，e）上单调递增，则f（x）max＝f（e）＝1－me．

③当1＜＜e，即＜m＜1时，函数f（x）在（1，）上单调递增，在（，e）上单调递减，

则f（x）max＝f（）＝－lnm－1．

④当≤1，即m≥1时，x∈（1，e），f′（x）＜0，函数f（x）在（1，e）上单调递减，则f（x）max＝f

（1）＝－m．

综上，①当m≤时，f（x）max＝1－me；

②当＜m＜1时，f（x）max＝－lnm－1；

③当m≥1时，f（x）max＝－m．

（3）不妨设x1＞x2＞0．因为f（x1）＝f（x2）＝0，所以lnx1－mx1＝0，lnx2－mx2＝0，

可得lnx1＋lnx2＝m（x1＋x2），lnx1－lnx2＝m（x1－x2）．

要证明x1x2＞e2，即证明lnx1＋lnx2＞2，也就是m（x1＋x2）＞2．

因为m＝，所以即证明＞，即ln＞．

令＝t，则t＞1，于是lnt＞．

令ϕ（t）＝lnt－（t＞1），则ϕ′（t）＝－＝＞0．

故函数ϕ（t）在（1，＋∞）上是增函数，所以ϕ（t）＞ϕ

（1）＝0，即lnt＞成立．

所以原不等式成立．

20．（本小题满分16分）

已知a，b是不相等的正数，在a，b之间分别插入m个正数a1，a2，…，am和正数b1，b2，…，

bm，使a，a1，a2，…，am，b是等差数列，a，b1，b2，…，bm，b是等比数列．

（1）若m＝5，＝，求的值；

（2）若b＝λa（λ∈N*，λ≥2），如果存在n（n∈N*，6≤n≤m）使得an－5＝bn，求λ的最小值及此时m的值；

（3）求证：

an＞bn（n∈N*，n≤m）．

（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，

则d＝，q＝．

a3＝a＋3d＝，b3＝aq3＝．

因为＝，所以2a－5＋2b＝0，解得＝4或．

（2）因为λa＝a＋（m＋1）d，所以d＝a，从而得an＝a＋a×

n．

因为λa＝a×

qm＋1，所以q＝λ，从而得bn＝a×

λ．

因为an－5＝bn，所以a＋×

a＝a×

因为a＞0，所以1＋＝λ（*）．

因为λ，m，n∈N*，所以1＋为有理数．

要使（*）成立，则λ必须为有理数．

因为n≤m，所以n＜m＋1．

若λ＝2，则λ为无理数，不满足条件．