北师大版初中数学八年级下册全册第四章.docx
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北师大版初中数学八年级下册全册第四章
第四章相似图形
4.1线段的比
一、教学目标
1.知道线段比的概念.
2.会计算两条线段的比.
3.熟记比例的基本性质,并能进行证明和运用.
二、教学过程
1.两条线段的比的概念
两条线段的比就是两条线段长度的比.
比如:
线段a的长度为3厘米,线段b的长度为6米,所以两线段a,b的比为3∶6=1∶2,对吗?
不对,因为a、b的长度单位不一致,所以不对.
注意:
在量线段时要选用同一个长度单位.
2..例题
在某市城区地图(比例尺1∶9000)上,新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16cm、10cm.
(1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米?
(2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少?
它们的实际长度之比呢?
解:
(1)根据题意,得
因此,新安大街的实际长度是
16×9000=144000(cm),
144000cm=1440m;
光华大街的实际长度是
10×9000=90000(cm)
90000cm=900m.
(2)新安大街与光华大街的图上长度之比是16∶10=8∶5
新安大街的实际长度与光华大街的实
际长度之比是144000∶90000=8∶5
由例2的结果可以发现:
三、随堂练习
1.在比例尺为1∶8000的某学校地图上,矩形运动场的图上尺寸是1cm×2cm,矩形运动场的实际尺寸是多少?
解:
根据题意,得
矩形运动场的图上长度∶矩形运动场的实际长度=1∶8000
因此,矩形运动场的长是
2×8000=16000(cm)=160(m)
矩形运动场的宽是
1×8000=8000(cm)=80(m)
所以,矩形运动场的实际尺寸是长为160m,宽为80m.
四、活动与探究
为了参加北京市申办2008年奥运会的活动,如果有两边长分别为1,a(其中a>1)的一块矩形绸布,要将它剪裁出三面矩形彩旗(面料没有剩余),使每条彩旗的长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同,画出两种不同裁剪方法的示意图,并写出相应的a的值.
解:
方案
(1):
∵长和宽之比与原绸布的长和宽之比相同,(*)
∴
解得:
a=
方案
(2):
由(*)得
∴x=,a=
方案(3):
由(*)得
∴y=
且∴z=
由=a得a=
方案(4):
由(*)得
∴b=
n=1-m=a2-1
∵m+n=1∴1-+a2-1=1
∴a=(负值舍去)
4.2黄金分割
一、教学目标
明白黄金分割
二、教学过程
如图:
点C把线段AB分成两条线段AC和AB,如果=那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比。
4.3形状相同的图形
一、教学目标
在诸多图形中能找出形状相同的图形,并能画形状相同的图形.
二、教学过程
在实际生活和数学学习中,我们常常会看到许多形状相同的图形,请从下图中找出形状相同的图形.
(1)与(3);
(2)与(13);(4)与(11);(5)与(10);(6)、(7)、(8)、(9)分别是形状相同的图形.
三、课堂练习
1.解:
(1)在直角坐标系中描出点O(0,0),A(1,2),B(2,4),C(3,2),D(4,0),先用线段顺次连接点O,A,B,C,D,然后用线段连接A,C两点,得到了字母A的图形
(2)填表1如下:
表1
(x,y)
O(0,0)
A(1,2)
B(2,4)
C(3,2)
D(4,0)
(2x,y)
O1(0,0)
A1(2,2)
B1(4,4)
C1(6,2)
D1(8,0)
分别连接O1A1,A1B1,B1C1,C1D1,A1C1得下图.
得到的图形还是字母A.
填写表2如下:
表2
(x,y)
O(0,0)
A(1,2)
B(2,4)
C(3,2)
D(4,0)
(x,2y)
O2(0,0)
A2(1,4)
B2(2,8)
C2(3,4)
D2(4,0)
连接如下图
所得图形还是字母A.
填写表3如下:
表3
(x,y)
O(0,0)
A(1,2)
B(2,4)
C(3,2)
D(4,0)
(2x,2y)
O3(0,0)
A3(2,4)
B3(4,8)
C3(6,4)
D3(8,0)
连接如下图
得到的图形还是字母A.
(3)在上述所得图形中,第1个图形和第4个图形形状相同.
4.4相似多边形
一、教学目标
经历探究图形的形状、大小,图形的边、角之间的关系,掌握相似多边形的定义以及相似比,并能根据定义判断两个多边形是否是相似多边形.
二、教学过程
1.探究相似多边形的定义
下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1,它们的形状相同吗?
(1)在上图的两个多边形中,是否有相等的内角?
设法验证你的猜测.
(2)在上图的两个多边形中,相等内角的两边是否成比例?
2.观察下面两组图形,
(1)中的两个图形相似吗?
为什么?
(2)中的两个图形呢?
与同伴交流.
2.如果两个多边形不相似,那么它们的各角可能对应相等吗?
它们的各边可能对应成比例吗?
(1)中的两个图形不相似.
因为相似形需要满足两个条件,一个是对应角相等,一个是对应边成比例.虽然
(1)中的两个图形对应边成比例,但对应角不相等,所以两个图形不相似.
(2)中的两个图形也不相似.
因为它们的对应边不成比例,所以两个图形不相似.
3.如果两个多边形不相似,那么它们的对应角也可能都相等,如
(2)中的两个图形;
如果两个多边形不相似,那么它们的对应边也可能成比例,如
(1)中的两个图形对应边成比例,但对应角不相等.
三、活动与探究
纸张的大小
如图,将一张长、宽之比为的矩形纸ABCD依次不断对折,可以得到矩形纸BCFE,AEML,GMFH,LGPN.
(1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比改变了吗?
(2)在这些矩形中,有成比例的线段吗?
(3)你认为这些大小不同的矩形相似吗?
解:
(1)矩形ABCD、BCFE、AEML、GMFH、LGPN长与宽的比不改变.
设纸的宽为a,长为a,则
BC=a,BE=a
AE=a,ME=
MF=,HF=a
LG=a,LN=
∴ =a∶a=
=a∶=
∶
a∶=
所以这五个矩形的长与宽的比不改变.
(2)在这些矩形中有成比例的线段.
(3)这些大小不同的矩形都相似.
4.5相似三角形
一、教学目标
1.掌握相似三角形的定义、表示法,并能根据定义判断两个三角形是否相似.
2.能根据相似比进行计算.
二、教学过程
1.相似三角形的定义及记法
如果△ABC∽△DEF,那么哪些角是对应角?
哪些边是对应边?
对应角有什么关系?
对应边呢?
由前面相似多边形的性质可知,对应角应相等,对应边应成比例.
所以∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F.
.
2.
(1)两个全等三角形一定相似吗?
为什么?
(2)两个直角三角形一定相似吗?
两个等腰直角三角形呢?
为什么?
(3)两个等腰三角形一定相似吗?
两个等边三角形呢?
为什么?
解:
(1)两个全等三角形一定相似.
因为两个全等三角形的对应边相等,对应角相等,由对应边相等可知对应边一定成比例,且相似比为1,因此满足相似三角形的两个条件,所以两个全等三角形一定相似.
(2)两个直角三角形不一定相似.
因为虽然都是直角三角形,但也只能确定有一对角即直角相等,其他的两对角可能相等,也可能不相等,对应边也不一定成比例,所以它们不一定相似.
两个等腰直角三角形一定相似.
因为两个等腰直角三角形Rt△ABC和Rt△DEF中,∠C=∠F=90°,则∠A=∠B=∠D=∠E=45°,所以有∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.
再设△ABC中AC=b,△DEF中DF=a,则
AC=BC=b,AB=b
DF=EF=a,DE=a
∴
所以两个等腰直角三角形一定相似.
(3)两个等腰三角形不一定相似.
因为等腰只能说明一个三角形中有两边相等,但另一边不固定,因此这两个等腰三角形中有两边对应成比例,两底边的比不一定等于对应腰的比,因此不用再去讨论对应角满足什么条件,就可以确定这两个等腰三角形不一定相似.
两个等边三角形一定相似.
因为等边三角形的各边都相等,各角都等于60度,因此这两个等边三角形一定有对应角相等、对应边成比例,所以它们一定相似.
[师]由上可知,在特殊的三角形中,有的相似,有的不相似.
两个全等三角形一定相似.
两个等腰直角三角形一定相似.
两个等边三角形一定相似.
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似.
3.例题
1.如图,有一块呈三角形形状的草坪,其中一边的长是20m,在这个草坪的图纸上,这条边长5cm,其他两边的长都是3.5cm,求该草坪其他两边的实际长度.
解:
草坪的形状与其图纸上相应的形状相似,它们的相似比是2000∶5=400∶1
如果设其他两边的实际长度都是xcm,则
x=3.5×400=1400(cm)=14(m)
所以,草坪其他两边的实际长度都是14m.
2.如图,已知△ABC∽△ADE,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,∠BAC=45°,∠ACB=40°,求
(1)∠AED和∠ADE的度数;
(2)DE的长.
解:
(1)因为△ABC∽△ADE.
所以由相似三角形对应角相等,得
∠AED=∠ACB=40°
在△ADE中,
∠AED+∠ADE+∠A=180°
即40°+∠ADE+45°=180°,
所以∠ADE=180°-40°-45°=95°.
(2)因为△ABC∽△ADE,所以由相似三角形对应边成比例,得
即
所以DE==43.75(cm).
4.6探索三角形相似的条件
一、教学目标
1.掌握三角形相似的判定方法1.
2.会用相似三角形的判定方法1来证明及计算.
二、教学过程
1.做一做.
(1)画一个△ABC,使得∠BAC=60°,与同伴交流,你们所画的三角形相似吗?
(2)与同伴合作,一人画△ABC,另一人画△A′B′C′,使得∠A和∠A′都等于给定的∠α,∠B和∠B′都等于给定的∠β,比较你们画的两个三角形,∠C与∠C′相等吗?
对应边的比相等吗?
这样的两个三角形相似吗?
改变∠α、∠β的大小,再试一试。
2.例题.
(1)已知△ABC与△A′B′C′中,∠B=∠B′=75°,∠C=50°,∠A′=55°,这两个三角形相似吗?
为什么?
(2)已知一个三角形的两个角分别是70°和65°,你能画一个和这个三角形相似的三角形吗?
解:
(1)在△ABC中,
∵∠B=75°,∠C=50°
∴∠A=55°
∴∠B=∠B′,∠A=∠A′
∴△ABC∽△A′B′C′
(2)先任作一条线段BC.
分别以BC为角的顶点,作∠MBC=70°,∠NCB=65°.
BM与CN相交于点A.
则△ABC为与原三角形相似的三角形.
三、课堂练习
1.在△ABC中,
∠A=70°,∠B=60°
∴∠C=50°
∴∠A=∠D,∠C=∠E.
∴△ABC∽△DFE.
2.∵DC∥AB
∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB.
∴△CDO∽△ABO.
3.∵AB⊥AO,DB⊥AB
∴∠A=∠B=90°
∵∠ACO=∠BCD
∴△ACO∽△BCD
∴
即
∴AO=100(m)
所以峡谷的宽AO为100m.
4.如图.
AD⊥B