江苏省南京市届高三上学期学情调研考试数学Word文件下载.docx
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I丄m”是"
I丄a成立的▲条件.(在"
充分不必要”
“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个)
12.已知平行四边形ABCD中,AD=2,ZBAD=60。
.若E为DC中点,且AE•BD=1,则BD•BE
的值为▲.
13.已知等比数列{an}的公比q>
1,其前n项和为Sn.若2S2+1,贝US的最小值为▲.
14.在平面直角坐标系xOy中,A,B为x轴正半轴上的两个动点,P(异于原点0)为y轴上的一个定点.若以AB为直径的圆与圆x2+(y—2)2=1相外切,且/APB的大小恒为定值,则线段OP的长
为▲
二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)
15.(本小题满分14分)
在厶ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB=bcosA.
(1)求。
的值;
a
1n
(2)若sinA=3求sin(C—?
的值.
16.(本小题满分14分)
如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为平行四边形,
E为侧棱PA的中点.
(1)求证:
PC//平面BDE;
(2)若PC丄PA,PD=AD,求证:
平面
BDE丄平面PAB.
C
B
A
P
(第16题图)
17.(本小题满分14分)
某市对城市路网进行改造,拟在原有a个标段(注:
一个标段是指一定长度的机动车道)的基
础上,新建x个标段和n个道路交叉口,其中n与x满足n=ax+5.已知新建一个标段的造价为m万元,新建一个道路交叉口的造价是新建一个标段的造价的k倍.
(1)写出新建道路交叉口的总造价y(万元)与x的函数关系式;
(2)设P是新建标段的总造价与新建道路交叉口的总造价之比•若新建的标段数是原有标段数
1
的20%,且k>
3•问:
P能否大于三,说明理由.
20
18.(本小题满分16分)
已知椭圆a2+y2=1(a>
b>
0)的离心率en#,—条准线方程为x=2.过椭圆的上顶点A作一条与x轴、y轴都不垂直的直线交椭圆于另一点P,P关于x轴的对称点为Q.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线AP,AQ与x轴交点的横坐标分别为m,n,求证:
mn为常数,并求出此常数.
19.(本小题满分16分)
已知函数f(x)=ex,g(x)=x—b,b€R.
(1)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切,求b的值;
(2)设T(x)=f(x)+ag(x),a€R,求函数T(x)的单调增区间;
(3)设h(x)=|g(x)|•f(x),bv1.若存在冷,血€[0,1],使|h(x”—h(x2)|>
1成立,求b的取值范围.
20.(本小题满分16分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且2a5—a3=13,S4=16.
(1)求数列{an}的前n项和Sn;
n
(2)设Tn=E(—1)iai,若对一切正整数n,不等式XTnV[an+1+(—1)n+1an]•2n—1恒成立,求实
数入的取值范围;
(3)是否存在正整数m,n(n>
m>
2),使得S2,Sm—S2,Sn—Sm成等比数列?
若存在,求出所有的m,n;
若不存在,说明理由.
南京市2016届高三学情调研考试
2015.09
数学附加题
注意事项:
1•附加题供选修物理的考生使用.
2.本试卷共40分,考试时间30分钟.
3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校写在答题纸上.试题的答案写在答.题纸上对应题目的
答案空格内.考试结束后,交回答题纸.
21.【选做题】在A、B、C、D四小题中只要选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题纸•指•定.区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.选修4—1:
几何证明选讲
在圆O中,AB,CD是互相平行的两条弦,直线AE与圆O相切于点A,且与CD的延长线交于点E,求证:
AD2=AB•ED.
C.选修4—4:
坐标系与参数方程
x=m+2cosa
在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为,(a为参数,m为常数).以原点0
y=2sina
为极点,以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线I的极坐标方程为pcos(B—》=•2.若直
线I与圆C有两个公共点,求实数m的取值范围.
D.选修4—5:
不等式选讲
设实数x,y,z满足x+5y+z=9,求x2+y2+z2的最小值.
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答.题纸指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
22.(本小题满分10分)
假定某射手射击一次命中目标的概率为2.现有4发子弹,该射手一旦射中目标,就停止射击,
否则就一直独立地射击到子弹用完.设耗用子弹数为X,求:
(1)X的概率分布;
(2)数学期望E(X).
23.(本小题满分10分)
如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF中,AB=2,CE=1,CE丄平面ABCD.
(1)求异面直线DF与BE所成角的余弦值;
(2)求二面角A-DF—B的大小.
南京市2016届高三学情调研考试数学参考答案及评分标准2015.09
说明:
1•本解答给出的解法供参考•如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.
2•对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;
如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分.
3•解答右端所注分数,
表示考生正确做到这
步应得的累加分数.
4•只给整数分数,填空题不给中间分数.
一、填空题:
本大题共
14小题,每小题
5分,共70分.
1•{2}
2.10
3.2
7•丁
3.0.032
8.,5
4.
4
5
5.2
6.5
9.
10.必要不充分
11.(2,
4)
12.3
13.23+3
14.
.3
二、解答题:
6小题,共90分.
15.解:
(1)由acosB=bcosA,得sinAcosB=sinBcosA,
3分
即sin(A—B)=0.
6分
8分
10分
12分
14分
因为A,B€(0,"
所以A—B€(—n,n,所以A—B=0,
所以a=b,即a=1•
(2)因为sinA=,且A为锐角,所以cosA=^^2
4\/2所以sinC=sin(n—2A)=sin2A=2sinAcosA=g,
cosC=cos(n—2A)=—cos2A=—1+2sin2A=—g•nn■n8+7^2
所以sin(C—4)=sinCcos4—cosCsin〔=^8~'
16・证明:
(1)连结AC,交BD于O,连结OE・
因为ABCD是平行四边形,所以OA=OC•-
方法二依题意x=0.2a.
答:
p不可能大于20.
ca/2a2
解:
⑴因为a=w,c=2,
所以a=.2,c=1,所以b=,a2—^=1.
x2
故椭圆的方程为2+y2=1.
⑵解法一设P点坐标为(X1,y1),则Q点坐标为(X1,-y1).
因为kAP=必=9,所以直线ap的方程为y=yxTx+1-
解法二设直线AP的斜率为k(kz0),贝UAP的方程为y=kx+1,
令y=0,得m=—-.6
k
分
y=kx+1,
联立方程组|+y2=1,
所以-p=k*+1=1—蒼,
令y=0,得n=—2k,
所以mn=(—匸)(—2k)=2.
16分
所以mn为常数,常数为2.
19.解:
(1)设切点为(t,et),因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切,
所以et=1,且et=t-b,
解得b=-1.
(2)T(x)=ex+a(x—b),T'
(x)=ex+a.
当a>
0时,T'
(x)>
0恒成立.
当av0时,由T'
0,得x>
In(—a).
当av0时,函数T(x)的单调增区间为(ln(—a),+^).
20.解:
(1)设数列{an}的公差为
因为2a5—a3=13,9=16,
2(a1+4d)—(a1+2d)=13,AZH
所以4a1+6d=16.)解得a1=1,d=2,
所以an=2n—1,Sn=n2.
⑵①当n为偶数时,设n=2k,k€N*,
贝VT2k=(a2—a”+(a4—a3)+•••+(a2k—a2k—1)=2k.
设f(k)=贝Vf(k+1)—f(k)=
4k+14k=4k(3k—1)
2(k+1)—2k=2k(k+1)
因为k€N*,所以f(k+1)—f(k)>
0,所以f(k)是递增的,所以f(k)min=2,
所以X<
2.
②当n为奇数时,设n=2k—1,k€N*,
则T2k-1=T2k—(—1)2ka2k=2k—(4k—1)=1—2k.8分
代入不等式XTn<
[an+1+(—1)n+1an]•2n—1,得X(1—2k)<
(2k—1)4k,
从而X>
—4k.
因为k€N*,所以一4k的最大值为一4,所