已知f（x）dx＝6，则6f（x）dx＝________．
【解析】 6f（x）dx＝6f（x）dx＝6×6＝36.
【答案】 36
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
求曲边梯形的面积
求直线y＝0，x＝1，x＝2，曲线y＝x2围成的曲边梯形的面积．
【精彩点拨】 按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解．
【自主解答】 分割：
在区间[1，2]上等间隔地插入n－1个点，将区间[1，2]等分成n个小区间：
，，…，.
记第i个区间为（i＝1，2，…，n），其长度为Δx＝－＝.分别过上述n－1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：
ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，显然，S＝ΔSi.
近似代替：
记f（x）＝x2，当n很大，即Δx很小时，在区间上，可以认为函数f（x）＝x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值f＝，从图形（图略）上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边．这样，在区间上，用小矩形的面积ΔS′i近似地代替ΔSi，即在局部小范围内“以直代曲”，则有
ΔSi≈ΔS′i＝f·Δx＝·＝（n2＋2ni＋i2）（i＝1，2，…，n），①
求和：
由①可推知
＝
＝2＋＋，
从而得到S的近似值
S≈Sn＝2＋＋.
取极限：
可以看到，当n趋向于无穷大时，即Δx趋向于0时，Sn＝2＋＋趋向于S，
从而有S＝Sn＝·
＝＝2＋0＋（1＋0）（1＋0）
＝2＋＝.
由极限法求曲边梯形的面积的步骤
第一步：
分割．在区间[a，b]中等间隔地插入n－1个分点，将其等分成n个小区间[xi－1，xi]（i＝1，2，…，n），小区间的长度Δxi＝xi－xi－1.
第二步：
近似代替，“以直代曲”．用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值．
第三步：
求和．将n个小矩形的面积进行求和得Sn.
第四步：
取极限．当n→∞时，Sn→S，S即为所求．
[再练一题]
1．求由曲线y＝x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值（取每个小区间的左端点）是________．
【解析】 将区间5等分所得的小区间为，，，，，于是所求平面图形的面积近似等于＝×＝1.02.
【答案】 1.02
定积分的几何意义
利用定积分的几何意义求下列定积分．
（1）dx；
（2）（2x＋1）dx；
（3）（x3＋3x）dx.
【精彩点拨】 对于本题
（1）、
（2）可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于（3）可根据被积函数的奇偶性求解．
【自主解答】
（1）曲线y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图
（1）所示．
其面积为S＝·π·32＝π.
由定积分的几何意义知dx＝π.
（2）曲线f（x）＝2x＋1为一条直线.（2x＋1）dx表示直线f（x）＝2x＋1，x＝0，x＝3，y＝0围成的直角梯形OABC的面积，如图
（2）．
其面积为S＝（1＋7）×3＝12.
根据定积分的几何意义知（2x＋1）dx＝12.
（3）∵y＝x3＋3x在区间[－1，1]上为奇函数，图像关于原点对称，
∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知（x3＋3x）dx＝0.
1.定积分的几何意义的应用
（1））利用定积分的几何意义求f（x）dx的值的关键是确定由曲线y＝f（x），直线x＝a，x＝b及y＝0所围成的平面图形的形状．常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形．
（2）不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确．
2.奇、偶函数在区间[－a，a]上的定积分
（1）若奇函数y＝f（x）的图像在[－a，a]上连续，则f（x）dx）＝0.
（2）若偶函数y＝f（x）的图像在[－a，a]上连续，则f（x）dx）＝2f（x）dx.
[再练一题]
2．根据定积分的几何意义求下列定积分的值．
（1）xdx；
（2）cosxdx；
（3）|x|dx.
【解】
（1）如图
（1），xdx＝－A1＋A1＝0.
（2）如图
（2），cosxdx＝A1－A2＋A3＝0.
（3）如图（3），∵A1＝A2，∴|x|dx＝2A1＝2×＝1.
（A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积）
[探究共研型]
定积分性质的应用
探究1 怎样求分段函数的定积分？
【提示】 可先把每一段函数的定积分求出后再相加．
探究2 怎样求奇（偶）函数在区间[－a，a]上的定积分？
【提示】
（1）若奇函数y＝f（x）的图像在[－a，a]上连续，则f（x）dx＝0；
（2）若偶函数y＝g（x）的图像在[－a，a]上连续，则g（x）dx＝2g（x）dx.
利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积．
（1）y＝0，y＝，x＝2；
（2）y＝x－2，x＝y2.
【精彩点拨】 由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示．
【自主解答】
（1）曲线所围成的平面区域如图
（1）所示．
设此面积为S，则S＝（－0）dx＝dx.
（1）
（2）
（2）曲线所围成的平面区域如图
（2）所示．
设面积为S，则S＝A1＋A2.
因为A1由y＝，y＝－，x＝1围成，
A2由y＝，y＝x－2，x＝1和x＝4围成，
所以A1＝[－（－）]dx＝2dx，
A2＝[－（x－2）]dx＝（－x＋2）dx.
故S＝2dx＋（－x＋2）dx.
利用定积分的性质求定积分的技巧
灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁．应用时注意性质的推广：
（1）[f1（x）±f2（x）±…±fn（x）]dx,＝f1（x）dx±f2（x）dx±…±fn（x）dx；
（2）f（x）dx＝f（x）dx＋f（x）dx＋…＋f（x）dx）（其中a[再练一题]
3．已知xdx＝，x2dx＝，求下列定积分的值．
（1）（2x＋x2）dx；
（2）（2x2－x＋1）dx.
【解】
（1）（2x＋x2）dx
＝2xdx＋x2dx
＝2×＋＝e2＋.
（2）（2x2－x＋1）dx＝
2x2dx－xdx＋1dx，
因为已知xdx＝，x2dx＝，
又由定积分的几何意义知：
1dx等于直线x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所围成的图形的面积，
所以1dx＝1×e＝e，
故（2x2－x＋1）dx＝2×－＋e＝e3－e2＋e.
[构建·体系]
——
1．下列等式不成立的是（ ）
A.[mf（x）＋ng（x）]dx＝mf（x）dx＋ng（x）dx
B.[f（x）＋1]dx＝f（x）dx＋b－a
C.f（x）g（x）dx＝f（x）dx·g（x）dx
D.sinxdx＝sinxdx＋sinxdx
【解析】 利用定积分的性质可判断A，B，D成立，C不成立．
例如xdx＝2，2dx＝4，2xdx＝4，
即2xdx≠xdx·2dx.
【答案】 C
2．当n很大时，函数f（x）＝x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替（ ）
A．fB．f
C．fD．f（0）
【解析】 当n很大时，f（x）＝x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替．
【答案】 C
3．已知某物体运动的速度为v＝t，t∈[0，10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为__________．
【解析】 ∵把区间[0，10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n（n＝1，2，…，10），每个小区间的长度为1.
∴物体运动的路程近似值S＝1×（1＋2＋…＋10）＝55.
【答案】 55
4．由y＝sinx，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________.
【导学号：
94210069】
【解析】 ∵0＜x＜，∴sinx＞0.
∴y＝sinx，x＝0，x＝，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式为sinxdx.
【答案】 sinxdx
5．用定积分的几何意义求
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